二項定理を用いて $(a+1)^4$ を展開し、空欄を埋める問題です。$(a+1)^4 = a^4 + \boxed{ア}a^3 + \boxed{イ}a^2 + \boxed{ウ}a + \boxed{エ}$ となる。

1. 問題の内容

二項定理を用いて $(a+1)^4$ を展開し、空欄を埋める問題です。$(a+1)^4 = a^4 + \boxed{ア}a^3 + \boxed{イ}a^2 + \boxed{ウ}a + \boxed{エ}$ となる。

2. 解き方の手順

二項定理より、$(a+1)^4$ を展開すると以下のようになります。

$(a+1)^4 = \binom{4}{0}a^4(1)^0 + \binom{4}{1}a^3(1)^1 + \binom{4}{2}a^2(1)^2 + \binom{4}{3}a^1(1)^3 + \binom{4}{4}a^0(1)^4$

ここで、二項係数は以下のようになります。

$\binom{4}{0} = 1$

$\binom{4}{1} = \frac{4!}{1!3!} = 4$

$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

$\binom{4}{3} = \frac{4!}{3!1!} = 4$

$\binom{4}{4} = 1$

したがって、

$(a+1)^4 = 1 \cdot a^4 \cdot 1 + 4 \cdot a^3 \cdot 1 + 6 \cdot a^2 \cdot 1 + 4 \cdot a^1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1$

$(a+1)^4 = a^4 + 4a^3 + 6a^2 + 4a + 1$

よって、$ア = 4$, $イ = 6$, $ウ = 4$, $エ = 1$ となります。

3. 最終的な答え

ア: 4

イ: 6

ウ: 4

エ: 1