次の4つの2次不等式を解きます。 (1) $x^2 + 9 \le 6x$ (2) $-x^2 < 2\sqrt{5}x + 5$ (3) $x(x+4) > -5$ (4) $(x-1)(x-2) + 1 \le 0$

はい、承知いたしました。2次不等式の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の4つの2次不等式を解きます。

(1) $x^2 + 9 \le 6x$

(2) $-x^2 < 2\sqrt{5}x + 5$

(3) $x(x+4) > -5$

(4) $(x-1)(x-2) + 1 \le 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + 9 \le 6x$

まず、不等式を整理して、右辺を0にします。

$x^2 - 6x + 9 \le 0$

左辺を因数分解します。

$(x-3)^2 \le 0$

$(x-3)^2$ は常に0以上なので、$(x-3)^2 = 0$ となる $x$ を求めます。

$x = 3$

(2) $-x^2 < 2\sqrt{5}x + 5$

まず、不等式を整理して、右辺を0にします。

$x^2 + 2\sqrt{5}x + 5 > 0$

左辺を因数分解します。

$(x + \sqrt{5})^2 > 0$

$(x + \sqrt{5})^2$ は常に0以上なので、$(x + \sqrt{5})^2 = 0$ となる $x$ 以外のすべての実数が解となります。

$x \ne -\sqrt{5}$

(3) $x(x+4) > -5$

まず、不等式を整理して、右辺を0にします。

$x^2 + 4x > -5$

$x^2 + 4x + 5 > 0$

左辺を平方完成します。

$(x + 2)^2 - 4 + 5 > 0$

$(x + 2)^2 + 1 > 0$

$(x + 2)^2$ は常に0以上なので、$(x + 2)^2 + 1$ は常に1以上です。したがって、すべての実数 $x$ が解となります。

(4) $(x-1)(x-2) + 1 \le 0$

まず、不等式を展開して整理します。

$x^2 - 3x + 2 + 1 \le 0$

$x^2 - 3x + 3 \le 0$

判別式 $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3 < 0$ より、実数解を持ちません。また、$x^2 - 3x + 3$ は下に凸な放物線なので、常に正の値をとります。したがって、解なしです。

3. 最終的な答え

(1) $x = 3$

(2) $x \ne -\sqrt{5}$

(3) すべての実数

(4) 解なし