与えられた式 $x^3 + 3xy + y^3 - 1$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^3 + 3xy + y^3 - 1$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 + y^3 - 1 + 3xy$ という順番で式を並べ替えます。

次に、$1 = 1^3$ であることを利用して、$x^3 + y^3 + (-1)^3 - 3xy(-1)$ の形に変形します。

ここで、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ という公式を適用します。

この公式において、$a = x, b = y, c = -1$ とすると、

$x^3 + y^3 + (-1)^3 - 3x y (-1) = (x + y - 1)(x^2 + y^2 + (-1)^2 - xy - y(-1) - x(-1))$

$= (x + y - 1)(x^2 + y^2 + 1 - xy + y + x)$

したがって、$x^3 + 3xy + y^3 - 1 = (x + y - 1)(x^2 + y^2 + 1 - xy + x + y)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x + y - 1)(x^2 + y^2 - xy + x + y + 1)$