周囲の長さが20cmの長方形について、縦の長さを $x$ cm、面積を $y$ cm$^2$ とします。 (1) $y$ を $x$ の式で表し、この関数の定義域を求めます。 (2) この関数を $f(x)$ とするとき、$f(3)$, $f(\frac{1}{2})$, $f(a+1)$ を求めます。

1. 問題の内容

周囲の長さが20cmの長方形について、縦の長さを $x$ cm、面積を $y$ cm$^2$ とします。

(1) $y$ を $x$ の式で表し、この関数の定義域を求めます。

(2) この関数を $f(x)$ とするとき、$f(3)$, $f(\frac{1}{2})$, $f(a+1)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

長方形の周囲の長さは $2(x + \text{横の長さ})$ であり、これが20cmであることから、

$2(x + \text{横の長さ}) = 20$

$x + \text{横の長さ} = 10$

$\text{横の長さ} = 10 - x$

面積 $y$ は、縦の長さ $x$ と横の長さ $10 - x$ の積で表されるので、

$y = x(10 - x)$

$y = 10x - x^2$

ここで、縦の長さ $x$ と横の長さ $10 - x$ はともに正である必要があるので、

$x > 0$

$10 - x > 0$

$x < 10$

したがって、定義域は $0 < x < 10$ となります。

(2)

$f(x) = 10x - x^2$ であるから、

$f(3) = 10(3) - (3)^2 = 30 - 9 = 21$

$f(\frac{1}{2}) = 10(\frac{1}{2}) - (\frac{1}{2})^2 = 5 - \frac{1}{4} = \frac{20}{4} - \frac{1}{4} = \frac{19}{4}$

$f(a+1) = 10(a+1) - (a+1)^2 = 10a + 10 - (a^2 + 2a + 1) = 10a + 10 - a^2 - 2a - 1 = -a^2 + 8a + 9$

3. 最終的な答え

(1)

$y = 10x - x^2$

定義域: $0 < x < 10$

(2)

$f(3) = 21$

$f(\frac{1}{2}) = \frac{19}{4}$

$f(a+1) = -a^2 + 8a + 9$