等差数列 $\{a_n\}$ があり、$a_4 = 28$, $a_{10} = 76$ である。また、数列 $\{b_n\}$ があり、$b_n = n^2 - n + 2$ である。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ と、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。 (2) 数列 $\{b_n\}$ の階差数列を $\{c_n\}$ とするとき、数列 $\{c_n\}$ の一般項 $c_n$ を求める。 (3) (1), (2) で求めた $S_n$, $c_n$ に対して、次の連立不等式を満たす整数 $x, y$ の組 $(x, y)$ の個数を $A_n$ とする。 $1 \le x \le c_n$ $1 \le y \le S_n$ $x^2 \le y \le 4x^2$ (i) $A_2$ を求めよ。 (ii) $A_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

等差数列 $\{a_n\}$ があり、$a_4 = 28$, $a_{10} = 76$ である。また、数列 $\{b_n\}$ があり、$b_n = n^2 - n + 2$ である。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ と、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。

(2) 数列 $\{b_n\}$ の階差数列を $\{c_n\}$ とするとき、数列 $\{c_n\}$ の一般項 $c_n$ を求める。

(3) (1), (2) で求めた $S_n$, $c_n$ に対して、次の連立不等式を満たす整数 $x, y$ の組 $(x, y)$ の個数を $A_n$ とする。

$1 \le x \le c_n$

$1 \le y \le S_n$

$x^2 \le y \le 4x^2$

(i) $A_2$ を求めよ。

(ii) $A_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列 $\{a_n\}$ の一般項を $a_n = a + (n-1)d$ とおく。$a_4 = a + 3d = 28$、$a_{10} = a + 9d = 76$ より、連立方程式を解くと、$6d = 48$ より $d = 8$、$a = 28 - 3d = 28 - 24 = 4$。よって、$a_n = 4 + (n-1)8 = 8n - 4$。

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(4 + 8n - 4) = 4n^2$。

(2) $\{c_n\}$ は $\{b_n\}$ の階差数列なので、$c_n = b_{n+1} - b_n$ である。

$b_n = n^2 - n + 2$ より、$b_{n+1} = (n+1)^2 - (n+1) + 2 = n^2 + 2n + 1 - n - 1 + 2 = n^2 + n + 2$。

よって、$c_n = (n^2 + n + 2) - (n^2 - n + 2) = 2n$。

(3)

(i) $n = 2$ のとき、$c_2 = 2 \cdot 2 = 4$、$S_2 = 4 \cdot 2^2 = 16$ である。連立不等式は

$1 \le x \le 4$

$1 \le y \le 16$

$x^2 \le y \le 4x^2$

これを満たす整数 $(x, y)$ の組の個数を求める。

$x = 1$ のとき、$1 \le y \le 4$ なので、$y = 1, 2, 3, 4$ の 4 個。

$x = 2$ のとき、$4 \le y \le 16$ なので、$y = 4, 5, \dots, 16$ の 13 個。

$x = 3$ のとき、$9 \le y \le 36$ だが、$y \le 16$ なので、$9 \le y \le 16$ より、$y = 9, 10, \dots, 16$ の 8 個。

$x = 4$ のとき、$16 \le y \le 64$ だが、$y \le 16$ なので、$y = 16$ の 1 個。

よって、$A_2 = 4 + 13 + 8 + 1 = 26$。

(ii)

$1 \le x \le c_n = 2n$

$1 \le y \le S_n = 4n^2$

$x^2 \le y \le 4x^2$

$x$ を固定して $y$ の範囲を考える。$x^2 \le y \le \min(4x^2, 4n^2)$。

$1 \le x \le 2n$ より、$4x^2 \le 4n^2$ が常に成立するので、$x^2 \le y \le 4x^2$ である。

$y$ の個数は $4x^2 - x^2 + 1 = 3x^2 + 1$ 個。

したがって、$A_n = \sum_{x=1}^{2n} (3x^2 + 1) = 3 \sum_{x=1}^{2n} x^2 + \sum_{x=1}^{2n} 1$

$= 3 \cdot \frac{2n(2n+1)(4n+1)}{6} + 2n = n(2n+1)(4n+1) + 2n$

$= n(8n^2 + 6n + 1) + 2n = 8n^3 + 6n^2 + n + 2n = 8n^3 + 6n^2 + 3n$。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 8n - 4$, $S_n = 4n^2$

(2) $c_n = 2n$

(3) (i) $A_2 = 26$

(ii) $A_n = 8n^3 + 6n^2 + 3n$