$x > 1$ のとき、$x + \frac{1}{x-1}$ の最小値と、最小値となるときの $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x > 1$ のとき、$x + \frac{1}{x-1}$ の最小値と、最小値となるときの $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

相加相乗平均の不等式を利用します。

$x>1$ であるから、$x-1>0$。

$x + \frac{1}{x-1}$ を $x-1$ を含む形に変形します。

$x + \frac{1}{x-1} = (x-1) + \frac{1}{x-1} + 1$

$(x-1) + \frac{1}{x-1}$ に対して相加相乗平均の不等式を適用します。

$x-1 > 0$ より、

$(x-1) + \frac{1}{x-1} \geq 2\sqrt{(x-1) \cdot \frac{1}{x-1}} = 2\sqrt{1} = 2$

したがって、

$x + \frac{1}{x-1} = (x-1) + \frac{1}{x-1} + 1 \geq 2 + 1 = 3$

最小値は3です。

等号成立は、$(x-1) = \frac{1}{x-1}$ のとき、つまり $(x-1)^2 = 1$ のときです。

$x > 1$ より、$x-1 > 0$ なので、$x-1 = 1$。

よって、$x = 2$ です。

3. 最終的な答え

最小値は 3 であり、最小値となるときの $x$ の値は 2 です。