放物線 $y = x^2 - 4x + 4$ (1) と直線 $y = mx - m + 2$ (2) がある。以下の問いに答えよ。 (1) 直線(2)は、$m$ の値に関わらず定点を通る。この点を求めよ。 (2) 放物線(1)と直線(2)は異なる2点で交わることを示せ。 (3) (1)と(2)の交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta (\alpha < \beta)$ とするとき、(1)と(2)で囲まれた部分の面積 $S$ を $\alpha, \beta$ で表せ。 (4) $S$ を $m$ で表し、$S$ の最小値とそのときの $m$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 4x + 4$ (1) と直線 $y = mx - m + 2$ (2) がある。以下の問いに答えよ。

(1) 直線(2)は、$m$ の値に関わらず定点を通る。この点を求めよ。

(2) 放物線(1)と直線(2)は異なる2点で交わることを示せ。

(3) (1)と(2)の交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta (\alpha < \beta)$ とするとき、(1)と(2)で囲まれた部分の面積 $S$ を $\alpha, \beta$ で表せ。

(4) $S$ を $m$ で表し、$S$ の最小値とそのときの $m$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 直線(2)の式を $m$ について整理する。

$m(x-1) - (y-2) = 0$

この式が $m$ の値にかかわらず成立するとき、$x-1 = 0$ かつ $y-2 = 0$ が成り立つ。

よって、$x = 1, y = 2$。したがって、直線(2)は点 $(1, 2)$ を通る。

(2) (1)と(2)より、$y$ を消去する。

$x^2 - 4x + 4 = mx - m + 2$

$x^2 - (m+4)x + m + 2 = 0$

この2次方程式の判別式を $D$ とすると、

$D = (m+4)^2 - 4(m+2) = m^2 + 8m + 16 - 4m - 8 = m^2 + 4m + 8 = (m+2)^2 + 4 > 0$

$D > 0$ より、放物線(1)と直線(2)は異なる2点で交わる。

(3) $S = -\int_\alpha^\beta \{x^2 - 4x + 4 - (mx - m + 2)\} dx = -\int_\alpha^\beta \{x^2 - (m+4)x + m + 2\} dx$

$\alpha, \beta$ は、$x^2 - (m+4)x + m + 2 = 0$ の2解だから、

$S = -\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta) dx = \frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$

(4) 解と係数の関係より、$\alpha + \beta = m+4, \alpha\beta = m+2$

$(\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = (m+4)^2 - 4(m+2) = m^2 + 8m + 16 - 4m - 8 = m^2 + 4m + 8$

$S = \frac{1}{6} \{(\beta - \alpha)^2\}^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{6} (m^2 + 4m + 8)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{6} \{(m+2)^2 + 4\}^{\frac{3}{2}}$

$S$ は $m = -2$ のとき最小値をとる。このとき、$S = \frac{1}{6} (4)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{6} (2^2)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{6} \cdot 2^3 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $(1, 2)$

(2) $D = (m+2)^2 + 4 > 0$ より、異なる2点で交わる。

(3) $S = \frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$

(4) $m = -2$ のとき、最小値 $S = \frac{4}{3}$