与えられた2つの数列の和を求める問題です。 (1) $1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + \dots + (2n-1)^2$ (2) $2(2n-1) + 4(2n-3) + 6(2n-5) + \dots + 2n \cdot 1$

1. 問題の内容

与えられた2つの数列の和を求める問題です。

(1) $1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + \dots + (2n-1)^2$

(2) $2(2n-1) + 4(2n-3) + 6(2n-5) + \dots + 2n \cdot 1$

2. 解き方の手順

(1) 数列の一般項は $(2k-1)^2$ (k=1, 2, ..., n) である。

したがって、数列の和は以下のようになる。

$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 4k + 1) = 4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

したがって、

$4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 3n}{3} = \frac{n(2(n+1)(2n+1) - 6(n+1) + 3)}{3}$

$= \frac{n(2(2n^2 + 3n + 1) - 6n - 6 + 3)}{3} = \frac{n(4n^2 + 6n + 2 - 6n - 3)}{3}$

$= \frac{n(4n^2 - 1)}{3} = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

(2) 数列の一般項は $2k(2n - (2k-1))$ (k=1, 2, ..., n) である。

したがって、数列の和は以下のようになる。

$\sum_{k=1}^{n} 2k(2n - (2k-1)) = \sum_{k=1}^{n} 2k(2n - 2k + 1) = \sum_{k=1}^{n} (4nk - 4k^2 + 2k)$

$= 4n\sum_{k=1}^{n} k - 4\sum_{k=1}^{n} k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} k = (4n+2)\sum_{k=1}^{n} k - 4\sum_{k=1}^{n} k^2$

$= (4n+2) \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = (2n+1)n(n+1) - \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$

$= n(n+1)(2n+1) - \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} = \frac{3n(n+1)(2n+1) - 2n(n+1)(2n+1)}{3}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3} = \frac{4n^3 - n}{3}$

(2) $\frac{n(n+1)(2n+1)}{3} = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{3}$