放物線 $y = 4 - x^2$ と直線 $y = a - x$ について、以下の問題を解きます。 (1) 2つのグラフが異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求めます。 (2) 2つのグラフで囲まれた部分の面積が $\frac{4}{3}$ となるような $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y = 4 - x^2$ と直線 $y = a - x$ について、以下の問題を解きます。

(1) 2つのグラフが異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求めます。

(2) 2つのグラフで囲まれた部分の面積が $\frac{4}{3}$ となるような $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

2つのグラフが異なる2点で交わる条件は、$4 - x^2 = a - x$ という方程式が異なる2つの実数解を持つことです。

この方程式を整理すると、

$x^2 - x + a - 4 = 0$

この2次方程式の判別式を $D$ とすると、

$D = (-1)^2 - 4(a - 4) = 1 - 4a + 16 = 17 - 4a$

異なる2点で交わるためには、$D > 0$ でなければならないので、

$17 - 4a > 0$

$4a < 17$

$a < \frac{17}{4}$

(2)

2つのグラフの交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$ (ただし $\alpha < \beta$) とすると、これらは $x^2 - x + a - 4 = 0$ の解です。解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 1$

$\alpha\beta = a - 4$

求める面積 $S$ は

$S = \int_\alpha^\beta ((a - x) - (4 - x^2)) dx = \int_\alpha^\beta (x^2 - x + a - 4) dx = - \int_\alpha^\beta -(x^2 - x + a - 4) dx$

$S = \int_\alpha^\beta (a-x-(4-x^2)) dx = \int_\alpha^\beta (x^2-x+a-4) dx$

$S = [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + (a-4)x]_\alpha^\beta = \frac{1}{3}(\beta^3-\alpha^3) - \frac{1}{2}(\beta^2-\alpha^2) + (a-4)(\beta-\alpha)$

ここで $(\beta-\alpha)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta = 1 - 4(a-4) = 17 - 4a$ より $\beta - \alpha = \sqrt{17-4a}$ （$\beta > \alpha$ より）

$(\beta - \alpha)^3 = (17 - 4a)^{\frac{3}{2}}$

$\beta^2 - \alpha^2 = (\beta+\alpha)(\beta-\alpha) = \sqrt{17-4a}$

$\beta^3 - \alpha^3 = (\beta-\alpha)(\beta^2 + \beta\alpha + \alpha^2) = (\beta-\alpha)((\beta+\alpha)^2 - \beta\alpha) = \sqrt{17 - 4a}(1 - (a - 4)) = (5 - a)\sqrt{17 - 4a}$

よって、

$S = \frac{1}{3}(5-a)\sqrt{17-4a} - \frac{1}{2}\sqrt{17-4a} + (a-4)\sqrt{17-4a}$

$S = \sqrt{17-4a}(\frac{5-a}{3}-\frac{1}{2}+a-4) = \sqrt{17-4a}(\frac{2(5-a)-3+6(a-4)}{6})$

$S = \sqrt{17-4a}(\frac{10-2a-3+6a-24}{6}) = \sqrt{17-4a}(\frac{4a-17}{6})$

$S = -\frac{1}{6}(17-4a)^{3/2}$

$S = \frac{4}{3}$ より、

$-\frac{1}{6}(17-4a)^{3/2} = \frac{4}{3}$

$(17-4a)^{3/2} = -8$

平方根の中身が負になることはないので、誤りがあります。

$x^2 - x + a - 4 = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とすると、$\beta - \alpha = \sqrt{D} = \sqrt{17-4a}$

$S = \int_\alpha^\beta (-(x-\alpha)(x-\beta)) dx = \frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 = \frac{1}{6}(17-4a)^{3/2}$

$\frac{1}{6}(17-4a)^{3/2} = \frac{4}{3}$

$(17-4a)^{3/2} = 8$

$17 - 4a = 8^{2/3} = 4$

$4a = 13$

$a = \frac{13}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $a < \frac{17}{4}$

(2) $a = \frac{13}{4}$