多項式 $(x-1)^{99}$ を $x^2$ で割ったときの余りを求め、また、整数 $99^{99}$ を $10000$ で割ったときの余りを求める問題です。

1. 問題の内容

多項式 $(x-1)^{99}$ を $x^2$ で割ったときの余りを求め、また、整数 $99^{99}$ を $10000$ で割ったときの余りを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 多項式 $(x-1)^{99}$ を $x^2$ で割った余りを求める。

剰余の定理より、$f(x) = (x-1)^{99}$ を $x^2$ で割ったときの余りを $ax + b$ とおくと、

$$(x-1)^{99} = x^2 Q(x) + ax + b$$

ここで $Q(x)$ は商である。

$x=0$ を代入すると、 $(-1)^{99} = 0 + 0 + b$ より、$b = -1$。

次に、両辺を $x$ で微分すると、

$$99(x-1)^{98} = 2xQ(x) + x^2Q'(x) + a$$

$x=0$ を代入すると、$99(-1)^{98} = a$ より、$a=99$。

したがって、余りは $99x - 1$。

(2) 整数 $99^{99}$ を $10000$ で割った余りを求める。

$99^{99} = (100 - 1)^{99}$ である。

$(x-1)^{99}$ を $x^2$ で割った余りが $99x - 1$ であることを利用する。

すなわち、$(x-1)^{99} = x^2 Q(x) + 99x - 1$。

$x = 100$ を代入すると、

$(100 - 1)^{99} = 100^2 Q(100) + 99(100) - 1$

$99^{99} = 10000 Q(100) + 9900 - 1$

$99^{99} = 10000 Q(100) + 9899$

したがって、$99^{99}$ を $10000$ で割った余りは $9899$。

3. 最終的な答え

多項式 $(x-1)^{99}$ を $x^2$ で割った余りは $99x - 1$。

整数 $99^{99}$ を $10000$ で割った余りは $9899$。