周の長さが20cmの長方形の面積の最大値を求める問題です。長方形の一辺の長さが $x$ cmとすると、もう一方の辺の長さは$(10-x)$ cm となります。

1. 問題の内容

周の長さが20cmの長方形の面積の最大値を求める問題です。長方形の一辺の長さが $x$ cmとすると、もう一方の辺の長さは$(10-x)$ cm となります。

2. 解き方の手順

長方形の面積を $S$ とすると、$S$ は $x$ の関数として表すことができます。

$S = x(10-x) = 10x - x^2$

この関数 $S$ の最大値を求めるために、平方完成を行います。

$S = -x^2 + 10x = -(x^2 - 10x)$

$S = -(x^2 - 10x + 25 - 25) = -(x - 5)^2 + 25$

$S = -(x-5)^2 + 25$

$S$ は $x=5$ のとき最大値 $25$ をとります。

$x$ は長方形の辺の長さなので、$x > 0$ かつ $10 - x > 0$ より、$0 < x < 10$ です。

$x=5$ はこの条件を満たします。

3. 最終的な答え

面積の最大値は $25 cm^2$ です。