次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。 (1) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n + n + 2$ ($n=1, 2, 3, \dots$) (2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 5^n$ ($n=1, 2, 3, \dots$)

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。

(1) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n + n + 2$ ($n=1, 2, 3, \dots$)

(2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 5^n$ ($n=1, 2, 3, \dots$)

2. 解き方の手順

(1)

$a_{n+1} = a_n + n + 2$ より、階差数列を考えます。

$a_{n+1} - a_n = n + 2$

$b_n = a_{n+1} - a_n$ とすると、 $b_n = n + 2$

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k+2) = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 2$

$= 2 + \frac{(n-1)n}{2} + 2(n-1) = 2 + \frac{n^2 - n}{2} + 2n - 2 = \frac{n^2 - n + 4n}{2} = \frac{n^2 + 3n}{2}$

$n=1$ のとき $a_1 = \frac{1^2 + 3(1)}{2} = \frac{4}{2} = 2$ となり、$a_1 = 2$ を満たします。

したがって、$a_n = \frac{n^2 + 3n}{2}$

(2)

$a_{n+1} = a_n + 5^n$ より、$a_{n+1} - a_n = 5^n$

$b_n = a_{n+1} - a_n$ とすると、$b_n = 5^n$

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 5^k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 5^k$

$= 1 + \frac{5(5^{n-1} - 1)}{5-1} = 1 + \frac{5^n - 5}{4} = \frac{4 + 5^n - 5}{4} = \frac{5^n - 1}{4}$

$n=1$ のとき $a_1 = \frac{5^1 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$ となり、$a_1 = 1$ を満たします。

したがって、$a_n = \frac{5^n - 1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{n^2 + 3n}{2}$

(2) $a_n = \frac{5^n - 1}{4}$