数列 $1, 1+2, 1+2+4, 1+2+4+8, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求める。

1. 問題の内容

数列 $1, 1+2, 1+2+4, 1+2+4+8, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求める。

2. 解き方の手順

まず、数列の一般項を求める。数列の第 $k$ 項は、初項1、公比2の等比数列の初項から第 $k$ 項までの和である。したがって、第 $k$ 項 $a_k$ は、

$$a_k = \sum_{i=0}^{k-1} 2^i = \frac{1(2^k - 1)}{2-1} = 2^k - 1$$

となる。

次に、数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (2^k - 1) = \sum_{k=1}^{n} 2^k - \sum_{k=1}^{n} 1$$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} 2^k$ は、初項2、公比2の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和であるから、

$$\sum_{k=1}^{n} 2^k = \frac{2(2^n - 1)}{2-1} = 2^{n+1} - 2$$

また、$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ である。

したがって、

$$S_n = (2^{n+1} - 2) - n = 2^{n+1} - n - 2$$

3. 最終的な答え

数列の初項から第 $n$ 項までの和は $2^{n+1} - n - 2$ である。