$\sqrt{21} \times \sqrt{15-4\sqrt{35}}$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\sqrt{21} \times \sqrt{15-4\sqrt{35}}$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{15-4\sqrt{35}}$ の中身を簡単にすることを考えます。

$15-4\sqrt{35}$ が $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$ の形に変形できると仮定します。

$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = a+b-2\sqrt{ab}$ となるので、$a+b=15$ かつ $ab = (\frac{4\sqrt{35}}{2})^2 = 4 \cdot 35 = 140$ となる $a$ と $b$ を探します。

$a$ と $b$ は $x^2 - 15x + 140 = 0$ の解となりますが、この方程式の判別式 $D = (-15)^2 - 4 \cdot 140 = 225 - 560 = -335 < 0$ なので、$a$ と $b$ は実数解を持ちません。

したがって、$\sqrt{15-4\sqrt{35}}$ は $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$ の形に変形できません。問題に誤りがある可能性があります。

しかし、問題の意図としては、$15 - 4\sqrt{35}$ を $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$ の形に変形できることを想定していると考えられます。

$15-4\sqrt{35} = 15 - 2\sqrt{4\cdot 35} = 15 - 2\sqrt{140}$ とします。$a+b = 15$ と $ab = 140$ を満たす $a, b$ を見つけることを目指しましたが、実数解が得られませんでした。

ここで、$\sqrt{35} = \sqrt{5} \sqrt{7}$ であることを利用して、$15-4\sqrt{35} = (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = a+b-2\sqrt{ab}$ となるように、もう少し工夫してみます。

$15-4\sqrt{35} = 15-2 \cdot 2 \sqrt{35} = 15-2\sqrt{4 \cdot 35} = 15-2\sqrt{140}$

$(\sqrt{7}-\sqrt{8})^2 = 7+8-2\sqrt{56} = 15 - 2\sqrt{56}$

$(\sqrt{5}-\sqrt{10})^2 = 5+10-2\sqrt{50} = 15-2\sqrt{50}$

$7+8 = 15$と考えると、$7+8-2\sqrt{56}=15-4\sqrt{14} \neq 15-4\sqrt{35}$

$5+10=15$と考えると、$5+10-2\sqrt{50} = 15-10\sqrt{2} \neq 15-4\sqrt{35}$

もう一度問題文を確認すると $\sqrt{15 - 4\sqrt{14}}$ であれば、$(\sqrt{8}-\sqrt{7})^2 = 8+7-2\sqrt{56} = 15-4\sqrt{14}$ となり、問題が解けます。

もし、元の問題が $\sqrt{21} \times \sqrt{15-4\sqrt{14}}$ であれば、

$\sqrt{21} \times \sqrt{(\sqrt{8}-\sqrt{7})^2} = \sqrt{21} \times (\sqrt{8}-\sqrt{7}) = \sqrt{3\cdot7} (\sqrt{8}-\sqrt{7}) = \sqrt{3}\sqrt{7}(2\sqrt{2}-\sqrt{7}) = 2\sqrt{6}\sqrt{7} - \sqrt{3}\cdot7 = 2\sqrt{42} - 7\sqrt{3}$ となります。

元の問題のまま進めることは難しいので、$\sqrt{15-4\sqrt{35}}$ は計算不能です。

3. 最終的な答え

与えられた問題 $\sqrt{21} \times \sqrt{15-4\sqrt{35}}$ は、これ以上簡単にすることはできません。$\sqrt{15-4\sqrt{35}}$ が実数であるかどうかを確認する必要があります。$15-4\sqrt{35} = 15 - 4(5.916...) = 15 - 23.664... = -8.664... < 0$ であるため、これは実数ではありません。したがって、この式の結果は実数ではありません。

虚数単位を $i$ とすると、$\sqrt{15-4\sqrt{35}} = i\sqrt{4\sqrt{35}-15}$ となります。

最終的な答え：計算不能