## 問題3

## 問題3

**(1) 2次関数 $y = 3x^2 + x - 5$ の最小値を求めなさい。**

**解き方の手順**

与えられた2次関数を平方完成して、頂点の $y$ 座標を求めます。

まず、$x^2$ の係数で $x$ の項までをくくります。

$y = 3(x^2 + \frac{1}{3}x) - 5$

次に、$x^2 + \frac{1}{3}x$ を平方完成します。$(x + \frac{1}{6})^2 = x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{36}$ なので、$\frac{1}{36}$ を足して引きます。

$y = 3(x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{36} - \frac{1}{36}) - 5$

$y = 3((x + \frac{1}{6})^2 - \frac{1}{36}) - 5$

$y = 3(x + \frac{1}{6})^2 - \frac{1}{12} - 5$

$y = 3(x + \frac{1}{6})^2 - \frac{61}{12}$

よって、頂点は $(-\frac{1}{6}, -\frac{61}{12})$ であり、下に凸な放物線なので、最小値は $-\frac{61}{12}$ です。

**最終的な答え**

最小値: $-\frac{61}{12}$

**(2) 区別のつかないサイコロ2個を同時に投げるとき少なくとも1個は偶数が出る確率を求めなさい。**

**解き方の手順**

少なくとも1個が偶数である確率を求める代わりに、両方とも奇数である確率を求めて、それを1から引くという方法で計算します。

サイコロは区別がつかないので、全事象は $6 + \frac{6 \times 5}{2} = 21$通りではなく、$6 \times 6 = 36$通りと考えます。

両方とも奇数である確率は、1個のサイコロが奇数である確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ なので、両方とも奇数である確率は $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ です。

したがって、少なくとも1個が偶数である確率は $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ となります。

別解：サイコロに区別があると考え、事象を数え上げる。

少なくとも１つが偶数である確率は、

(偶数、偶数)、(偶数、奇数)、(奇数、偶数)の３パターンがある。

それぞれの確率は、$\frac{1}{2}\times\frac{1}{2} = \frac{1}{4}$なので、

確率は$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$。

**最終的な答え**

$\frac{3}{4}$

**(3) $x = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$, $y = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ のとき、$xy$ の値を求めなさい。**

**解き方の手順**

$xy$ を計算します。

$xy = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \times \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

$xy = \frac{1}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}$

$xy = \frac{1}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}$

$xy = \frac{1}{5 - 3}$

$xy = \frac{1}{2}$

**最終的な答え**

$\frac{1}{2}$

**(4) 実数 $x$ について、不等式 $x^2 + ax + a + 3 > 0$ が成り立つように、定数 $a$ の値の範囲を定めなさい。**

**解き方の手順**

2次不等式 $x^2 + ax + a + 3 > 0$ がすべての実数 $x$ で成り立つためには、2次関数 $y = x^2 + ax + a + 3$ のグラフが常に $x$ 軸より上にある必要があります。つまり、判別式 $D$ が負である必要があります。

判別式 $D = a^2 - 4(a + 3) < 0$

$a^2 - 4a - 12 < 0$

$(a - 6)(a + 2) < 0$

したがって、$-2 < a < 6$

**最終的な答え**

$-2 < a < 6$

**(5) $\tan \theta = 4$ のときの $\cos \theta$ の値を求めなさい。ただし、$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ とする。**

**解き方の手順**

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 4$ より、$\sin \theta = 4 \cos \theta$ です。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に代入すると、

$(4 \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$16 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$17 \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{17}$

$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ なので、$\cos \theta > 0$ です。

$\cos \theta = \sqrt{\frac{1}{17}} = \frac{1}{\sqrt{17}} = \frac{\sqrt{17}}{17}$

**最終的な答え**

$\cos \theta = \frac{\sqrt{17}}{17}$

**(6) 2進数 1101 を 10進数に直しなさい。**

**解き方の手順**

2進数の各桁に $2$ のべき乗を掛け、それらを合計します。

$1101_2 = 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0$

$1101_2 = 1 \times 8 + 1 \times 4 + 0 \times 2 + 1 \times 1$

$1101_2 = 8 + 4 + 0 + 1$

$1101_2 = 13$

**最終的な答え**

13

## 問題4

**(1) 辺ADの長さを求めなさい。**

**解き方の手順**

三角形ABDにおいて、余弦定理を用いると、

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \times AB \times BD \times \cos \angle ABD$

$AD^2 = 8^2 + 10^2 - 2 \times 8 \times 10 \times \frac{23}{32}$

$AD^2 = 64 + 100 - 160 \times \frac{23}{32}$

$AD^2 = 164 - 5 \times 23$

$AD^2 = 164 - 115$

$AD^2 = 49$

よって、$AD = \sqrt{49} = 7$

**最終的な答え**

AD = 7

**(2) 辺CDの長さを求めなさい。**

**解き方の手順**

三角形CADにおいて、余弦定理を用いると、

$CD^2 = CA^2 + AD^2 - 2 \times CA \times AD \times \cos \angle CAD$

$CD^2 = 8^2 + 7^2 - 2 \times 8 \times 7 \times \frac{11}{14}$

$CD^2 = 64 + 49 - 112 \times \frac{11}{14}$

$CD^2 = 113 - 8 \times 11$

$CD^2 = 113 - 88$

$CD^2 = 25$

よって、$CD = \sqrt{25} = 5$

**最終的な答え**

CD = 5

**(3) ∠ACDの大きさを求めなさい。**

**解き方の手順**

三角形ACDにおいて、余弦定理を用いると、

$\cos \angle ACD = \frac{CA^2 + CD^2 - AD^2}{2 \times CA \times CD}$

$\cos \angle ACD = \frac{8^2 + 5^2 - 7^2}{2 \times 8 \times 5}$

$\cos \angle ACD = \frac{64 + 25 - 49}{80}$

$\cos \angle ACD = \frac{40}{80}$

$\cos \angle ACD = \frac{1}{2}$

よって、$\angle ACD = 60^\circ$

**最終的な答え**

∠ACD = $60^\circ$