複素数 $1+i$ を1つの解とする実数係数の3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ が与えられている。 (1) $b$ と $c$ を $a$ で表す。 (2) 上記の3次方程式の実数解を $a$ で表す。 (3) 上記の3次方程式と2次方程式 $x^2 - bx + 3 = 0$ がただ1つの実数解を共有するとき、$a$, $b$, $c$ の値を求める。

1. 問題の内容

複素数 $1+i$ を1つの解とする実数係数の3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ が与えられている。

(1) $b$ と $c$ を $a$ で表す。

(2) 上記の3次方程式の実数解を $a$ で表す。

(3) 上記の3次方程式と2次方程式 $x^2 - bx + 3 = 0$ がただ1つの実数解を共有するとき、$a$, $b$, $c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ の係数は実数なので、$1+i$ が解ならば、$1-i$ も解である。

3つの解を $\alpha, 1+i, 1-i$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + (1+i) + (1-i) = -a$

$\alpha(1+i) + \alpha(1-i) + (1+i)(1-i) = b$

$\alpha(1+i)(1-i) = -c$

これらを整理すると、

$\alpha + 2 = -a$ より $\alpha = -a-2$

$\alpha(2) + 2 = b$ より $b = 2\alpha + 2 = 2(-a-2) + 2 = -2a - 2$

$2\alpha = -c$ より $c = -2\alpha = -2(-a-2) = 2a + 4$

したがって、$b = -2a - 2$, $c = 2a + 4$。

(2) 実数解 $\alpha$ は $-a-2$ で表される。

(3) 2次方程式 $x^2 - bx + 3 = 0$ に $b = -2a-2$ を代入すると、$x^2 + (2a+2)x + 3 = 0$ となる。

3次方程式と2次方程式がただ1つの実数解を共有するので、その実数解を $\beta$ とする。

3次方程式の解は $\beta, 1+i, 1-i$ であるから、$(x-(1+i))(x-(1-i)) = x^2 - 2x + 2$ で割り切れるはずである。

つまり、$x^3 + ax^2 + bx + c = (x - \alpha)(x^2 - 2x + 2)$ となる。

ここで、(1) より $b = -2a - 2$ かつ $c = 2a + 4$ である。

3次方程式に $b, c$ を代入すると、$x^3 + ax^2 - (2a+2)x + (2a+4) = 0$

2次方程式に $b$ を代入すると、$x^2 + (2a+2)x + 3 = 0$

共通解を $\beta$ とすると、$\beta^2 + (2a+2)\beta + 3 = 0$ かつ $\beta^3 + a\beta^2 - (2a+2)\beta + (2a+4) = 0$

2次方程式の解は $\beta = \frac{-(2a+2) \pm \sqrt{(2a+2)^2 - 12}}{2} = -a-1 \pm \sqrt{a^2+2a-2}$.

ただ一つの実数解を共有するので、$\beta = -a -2$ を代入する。

$(-a-2)^2 + (2a+2)(-a-2) + 3 = 0$

$a^2 + 4a + 4 - 2a^2 - 6a - 4 + 3 = 0$

$-a^2 - 2a + 3 = 0$

$a^2 + 2a - 3 = 0$

$(a+3)(a-1) = 0$

$a = -3, 1$

$a = -3$ のとき、$b = -2(-3) - 2 = 4, c = 2(-3) + 4 = -2$

$x^2 + (2(-3)+2)x + 3 = x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3) = 0$. 共通解は $x=1,3$である。

$a= -3$のとき、$\alpha = -(-3)-2=1$

$x^3-3x^2+4x-2 = (x-1)(x^2-2x+2)=0$。 共通解は $x=1$なので条件を満たす。

$a = 1$ のとき、$b = -2(1) - 2 = -4, c = 2(1) + 4 = 6$

$x^2 + (2(1)+2)x + 3 = x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3) = 0$. 共通解は $x=-1, -3$である。

$a = 1$のとき、$\alpha = -1 -2 = -3$

$x^3+x^2-4x+6 = (x+3)(x^2-2x+2)=0$。 共通解は $x=-3$なので条件を満たす。

3. 最終的な答え

$a = -3, b = 4, c = -2$ または $a = 1, b = -4, c = 6$