関数 $y = x^2 + 6x + c$ （$-4 \leq x \leq 4$）の最大値が10であるとき、定数 $c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 + 6x + c$ （$-4 \leq x \leq 4$）の最大値が10であるとき、定数 $c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = x^2 + 6x + c$

$y = (x^2 + 6x + 9) - 9 + c$

$y = (x + 3)^2 - 9 + c$

この関数は、下に凸の放物線であり、頂点の座標は $(-3, -9+c)$ です。定義域は $-4 \leq x \leq 4$ です。

軸 $x = -3$ は定義域内にあり、頂点は定義域内にあります。

定義域の端点での値を調べます。

$x = -4$ のとき、

$y = (-4)^2 + 6(-4) + c = 16 - 24 + c = -8 + c$

$x = 4$ のとき、

$y = (4)^2 + 6(4) + c = 16 + 24 + c = 40 + c$

定義域内で、$x=4$ のときに関数の値が最大になります。

したがって、$40 + c = 10$ となります。

$c = 10 - 40$

$c = -30$

3. 最終的な答え

$c = -30$