(1) f(x)=2x2+3mx−2m を平方完成する。 f(x)=2(x2+23mx)−2m=2(x+43m)2−2(43m)2−2m=2(x+43m)2−89m2−2m 軸は x=−43m である。 0≤x≤1 における最小値を考える。 (i) −43m<0, つまり m>0 のとき g=f(0)=−2m (ii) 0≤−43m≤1, つまり −34≤m≤0 のとき x=−43m で最小値をとる。 g=−89m2−2m (iii) −43m>1, つまり m<−34 のとき g=f(1)=2+3m−2m=m+2 よって、
$g = \begin{cases}
-2m & (m > 0) \\
-\frac{9}{8}m^2 - 2m & (-\frac{4}{3} \le m \le 0) \\
m + 2 & (m < -\frac{4}{3})
\end{cases}$
(i) m>0 のとき、 g=−2m<0 (ii) −34≤m≤0 のとき、 g=−89m2−2m g=−89(m2+916m)=−89(m+98)2+89(98)2=−89(m+98)2+98 −34≤m≤0 より、 −34=−912≤m≤0 なので、m=−98 はこの範囲に含まれる。 m=−98 のとき、 g=98 (iii) m<−34 のとき、 g=m+2<−34+2=32 したがって、g の最大値は 98 である。 