実数 $x, y$ に対して、不等式 $x^2 + 25y^2 \ge 10xy$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。証明の穴埋め形式になっています。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ に対して、不等式 $x^2 + 25y^2 \ge 10xy$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。証明の穴埋め形式になっています。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + 25y^2 - 10xy$ を変形して完全平方式を作ります。

$x^2 - 10xy + 25y^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot (5y) + (5y)^2 = (x-5y)^2$

よって、証明の最初の行は $(x-5y)^2$ となります。したがって、オに入るのは $5$ です。

$(x-5y)^2$ は実数の2乗なので必ず $0$ 以上になります。つまり、

$(x-5y)^2 \ge 0$

したがって、カに入るのは $0$ です。

不等号が成り立つのは $(x-5y)^2 = 0$ のとき、つまり $x-5y=0$ のときです。したがって、キに入るのは $5$ です。

最後に $x-5y=0$ を変形して $x=5y$ となります。したがって、クに入るのは $5$ です。

3. 最終的な答え

オ：5

カ：0

キ：5

ク：5