次の2次関数の最大値が7となるように、定数 $c$ の値を定め、そのときの最小値を求めよ。 (1) $y = 3x^2 + 6x + c (-2 \le x \le 1)$ (2) $y = -2x^2 + 12x + c (-2 \le x \le 2)$

1. 問題の内容

次の2次関数の最大値が7となるように、定数 $c$ の値を定め、そのときの最小値を求めよ。

(1) $y = 3x^2 + 6x + c (-2 \le x \le 1)$

(2) $y = -2x^2 + 12x + c (-2 \le x \le 2)$

2. 解き方の手順

(1) $y = 3x^2 + 6x + c$ の場合

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 3(x^2 + 2x) + c = 3(x^2 + 2x + 1 - 1) + c = 3(x+1)^2 - 3 + c$

したがって、軸は $x = -1$ です。

定義域 $-2 \le x \le 1$ におけるグラフを考えます。

軸は定義域に含まれるため、頂点で最小値をとります。

$x = -1$ のとき $y = -3 + c$

$x = 1$ のとき $y = 3(1)^2 + 6(1) + c = 3 + 6 + c = 9 + c$

$x = -2$ のとき $y = 3(-2)^2 + 6(-2) + c = 12 - 12 + c = c$

このグラフは下に凸なので、最大値は $x=1$ のときに発生します。

よって、 $9 + c = 7$ となるため、$c = -2$ です。

最小値は $x=-1$ のときで、 $y = -3 + c = -3 - 2 = -5$ となります。

(2) $y = -2x^2 + 12x + c$ の場合

与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -2(x^2 - 6x) + c = -2(x^2 - 6x + 9 - 9) + c = -2(x-3)^2 + 18 + c$

したがって、軸は $x = 3$ です。

定義域 $-2 \le x \le 2$ におけるグラフを考えます。

軸は定義域に含まれないため、端点で最大値をとります。

このグラフは上に凸なので、$x=-2$ で最小、$x=2$ で最大値をとるか、$x=2$ で最小、$x=-2$ で最大値をとります。

$x = 2$ のとき $y = -2(2)^2 + 12(2) + c = -8 + 24 + c = 16 + c$

$x = -2$ のとき $y = -2(-2)^2 + 12(-2) + c = -8 - 24 + c = -32 + c$

$x=2$ で最大値をとる場合、$16 + c = 7$ となるので $c = -9$ です。このとき、最小値は $-32 + c = -32 - 9 = -41$

$x=-2$ で最大値をとる場合、$-32 + c = 7$ となるので $c = 39$ です。このとき、最大値は $16 + c = 16 + 39 = 55$

軸が定義域に含まれないため、$x=2$で最大値7を取ります。この時、$y = -2(x-3)^2 + 18 + c = -2(2-3)^2 + 18 + c = -2(1) + 18 + c = 16 + c = 7$、$c = -9$

また、最小値は$x = -2$で発生します。

$y = -2(-2-3)^2 + 18 - 9 = -2(25) + 9 = -50 + 9 = -41$

3. 最終的な答え

(1) $c = -2$, 最小値 $-5$

(2) $c = -9$, 最小値 $-41$