(1) $\alpha + \beta$ (2) $\alpha \beta$ (3) $(\alpha - \beta)^2$ (4) $\alpha^3 + \beta^3$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

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1. 問題の内容**

1. $x$ の2次方程式 $2x^2 + 3x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の値を求めます。

(1) $\alpha + \beta$

(2) $\alpha \beta$

(3) $(\alpha - \beta)^2$

(4) $\alpha^3 + \beta^3$

2. (5) 和が3、積が8になる2つの数を求めます。

(6) $-2+5i$, $-2-5i$ を解にもつ2次方程式を1つ作成します。

3. (7) 次の連立方程式を解きます。

$\begin{cases} x + y = 1 \\ x^2 + y^2 = -2 \end{cases}$

(8) $x^2 - 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha - \beta^2$, $\beta - \alpha^2$ を解にもつ2次方程式を1つ作成します。

(9) $k$ を定数とするとき、2次方程式 $x^2 + 2kx + k + 2 = 0$ において、2つの解の差が4となるときの $k$ の値を求め、そのときの2次方程式の2解を求めます。

4. (10) $x$ の2次式 $x^2 + kx + 2k - 3$ が完全平方式となるような定数 $k$ の値を求めます。

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2. 解き方の手順**

1. (1) 解と係数の関係より $\alpha + \beta = -\frac{3}{2}$

(2) 解と係数の関係より $\alpha \beta = \frac{4}{2} = 2$

(3) $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4 \alpha \beta = (-\frac{3}{2})^2 - 4(2) = \frac{9}{4} - 8 = \frac{9 - 32}{4} = -\frac{23}{4}$

(4) $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3 \alpha \beta (\alpha + \beta) = (-\frac{3}{2})^3 - 3(2)(-\frac{3}{2}) = -\frac{27}{8} + 9 = \frac{-27 + 72}{8} = \frac{45}{8}$

2. (5) 2つの数を $x$, $y$ とすると $x+y = 3$ かつ $xy = 8$ 。$y = 3 - x$ を $xy = 8$ に代入して $x(3 - x) = 8$, $3x - x^2 = 8$, $x^2 - 3x + 8 = 0$。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{-23}}{2} = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{2}$

したがって、2つの数は $\frac{3 + i \sqrt{23}}{2}$ と $\frac{3 - i \sqrt{23}}{2}$。

(6) 2つの解が $-2 + 5i$ と $-2 - 5i$ なので、$x = -2 + 5i$, $x = -2 - 5i$。

$x + 2 = 5i$, $x + 2 = -5i$ より、$(x + 2 - 5i)(x + 2 + 5i) = 0$, $(x+2)^2 - (5i)^2 = 0$, $x^2 + 4x + 4 + 25 = 0$, $x^2 + 4x + 29 = 0$

3. (7) $x + y = 1$ より $y = 1 - x$。$x^2 + (1 - x)^2 = -2$, $x^2 + 1 - 2x + x^2 = -2$, $2x^2 - 2x + 3 = 0$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{-20}}{4} = \frac{2 \pm 2i \sqrt{5}}{4} = \frac{1 \pm i \sqrt{5}}{2}$

$x = \frac{1 + i \sqrt{5}}{2}$ のとき $y = 1 - \frac{1 + i \sqrt{5}}{2} = \frac{2 - 1 - i \sqrt{5}}{2} = \frac{1 - i \sqrt{5}}{2}$

$x = \frac{1 - i \sqrt{5}}{2}$ のとき $y = 1 - \frac{1 - i \sqrt{5}}{2} = \frac{2 - 1 + i \sqrt{5}}{2} = \frac{1 + i \sqrt{5}}{2}$

(8) $x^2 - 4x + 1 = 0$ の解は $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$。$\alpha = 2 + \sqrt{3}$, $\beta = 2 - \sqrt{3}$

$\alpha - \beta^2 = 2 + \sqrt{3} - (2 - \sqrt{3})^2 = 2 + \sqrt{3} - (4 - 4 \sqrt{3} + 3) = 2 + \sqrt{3} - 7 + 4 \sqrt{3} = -5 + 5 \sqrt{3}$

$\beta - \alpha^2 = 2 - \sqrt{3} - (2 + \sqrt{3})^2 = 2 - \sqrt{3} - (4 + 4 \sqrt{3} + 3) = 2 - \sqrt{3} - 7 - 4 \sqrt{3} = -5 - 5 \sqrt{3}$

求める2次方程式は $(x - (-5 + 5\sqrt{3}))(x - (-5 - 5\sqrt{3})) = 0$

$(x + 5 - 5\sqrt{3})(x + 5 + 5\sqrt{3}) = 0$

$(x + 5)^2 - (5\sqrt{3})^2 = 0$

$x^2 + 10x + 25 - 75 = 0$

$x^2 + 10x - 50 = 0$

(9) 2次方程式 $x^2 + 2kx + k + 2 = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係から $\alpha + \beta = -2k$ かつ $\alpha \beta = k+2$。

また、$\alpha - \beta = 4$。 $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4 \alpha \beta$, $16 = (-2k)^2 - 4(k+2)$, $16 = 4k^2 - 4k - 8$, $4k^2 - 4k - 24 = 0$, $k^2 - k - 6 = 0$, $(k-3)(k+2) = 0$, $k = 3$ または $k = -2$

$k = 3$ のとき、$x^2 + 6x + 5 = 0$, $(x+1)(x+5) = 0$, $x = -1, -5$

$k = -2$ のとき、$x^2 - 4x = 0$, $x(x-4) = 0$, $x = 0, 4$

4. (10) $x^2 + kx + 2k - 3$ が完全平方式となるためには、判別式 $D = k^2 - 4(2k - 3) = 0$

$k^2 - 8k + 12 = 0$, $(k-2)(k-6) = 0$, $k = 2, 6$

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3. 最終的な答え**

1. (1) $-\frac{3}{2}$ (2) $2$ (3) $-\frac{23}{4}$ (4) $\frac{45}{8}$

2. (5) $\frac{3 + i \sqrt{23}}{2}$ と $\frac{3 - i \sqrt{23}}{2}$ (6) $x^2 + 4x + 29 = 0$

3. (7) $x = \frac{1 + i \sqrt{5}}{2}$, $y = \frac{1 - i \sqrt{5}}{2}$ または $x = \frac{1 - i \sqrt{5}}{2}$, $y = \frac{1 + i \sqrt{5}}{2}$ (8) $x^2 + 10x - 50 = 0$ (9) $k = 3$ のとき $x = -1, -5$, $k = -2$ のとき $x = 0, 4$

4. (10) $k = 2, 6$