与えられた2つの二次関数について、最大値または最小値を求める問題です。 (1) $y = x^2 - 4x - 4$ (2) $y = -2x^2 + 3x - 1$

1. 問題の内容

与えられた2つの二次関数について、最大値または最小値を求める問題です。

(1) $y = x^2 - 4x - 4$

(2) $y = -2x^2 + 3x - 1$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - 4x - 4$

この二次関数は $x^2$ の係数が正であるため、下に凸の放物線になります。したがって、最小値を持ちますが、最大値は持ちません。平方完成をして最小値を求めます。

$y = x^2 - 4x - 4 = (x - 2)^2 - 4 - 4 = (x - 2)^2 - 8$

この式から、頂点の座標は $(2, -8)$ であることがわかります。

したがって、最小値は $x = 2$ のときに $y = -8$ となります。

(2) $y = -2x^2 + 3x - 1$

この二次関数は $x^2$ の係数が負であるため、上に凸の放物線になります。したがって、最大値を持ちますが、最小値は持ちません。平方完成をして最大値を求めます。

$y = -2x^2 + 3x - 1 = -2(x^2 - \frac{3}{2}x) - 1 = -2( (x - \frac{3}{4})^2 - (\frac{3}{4})^2 ) - 1$

$= -2(x - \frac{3}{4})^2 + 2(\frac{9}{16}) - 1 = -2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{9}{8} - \frac{8}{8} = -2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{1}{8}$

この式から、頂点の座標は $(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$ であることがわかります。

したがって、最大値は $x = \frac{3}{4}$ のときに $y = \frac{1}{8}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: $y = -8$ ($x = 2$ のとき)

(2) 最大値: $y = \frac{1}{8}$ ($x = \frac{3}{4}$ のとき)