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与えられた数式の値を計算する問題です。数式は $(\sqrt{5}+1)^2 - \frac{10}{\sqrt{5}}$です。

代数学数式の計算平方根有理化式の展開
2025/8/16

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算する問題です。数式は (5+1)2−105(\sqrt{5}+1)^2 - \frac{10}{\sqrt{5}}です。

2. 解き方の手順

まず、(5+1)2(\sqrt{5}+1)^2 を展開します。
(5+1)2=(5)2+2(5)(1)+12=5+25+1=6+25(\sqrt{5}+1)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{5})(1) + 1^2 = 5 + 2\sqrt{5} + 1 = 6 + 2\sqrt{5}
次に、105\frac{10}{\sqrt{5}}を計算します。分母を有理化するために、分子と分母に5\sqrt{5}を掛けます。
105=1055⋅5=1055=25\frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}
最後に、得られた値を元の式に代入して計算します。
(5+1)2−105=(6+25)−25=6+25−25=6(\sqrt{5}+1)^2 - \frac{10}{\sqrt{5}} = (6 + 2\sqrt{5}) - 2\sqrt{5} = 6 + 2\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = 6

3. 最終的な答え

6

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