与えられた2つの2次関数について、指定された範囲における最大値と最小値を求める問題です。 (1) $y = -2x^2 - 4x + 1$ ($-2 \le x < 1$) (2) $y = 2x^2 + 3x + 4$ ($0 < x \le 2$)

1. 問題の内容

与えられた2つの2次関数について、指定された範囲における最大値と最小値を求める問題です。

(1) $y = -2x^2 - 4x + 1$ ($-2 \le x < 1$)

(2) $y = 2x^2 + 3x + 4$ ($0 < x \le 2$)

2. 解き方の手順

(1) $y = -2x^2 - 4x + 1$ (-2 ≤ x < 1)

1. 平方完成を行い、頂点の座標を求める。

$y = -2(x^2 + 2x) + 1$

$y = -2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1$

$y = -2((x+1)^2 - 1) + 1$

$y = -2(x+1)^2 + 2 + 1$

$y = -2(x+1)^2 + 3$

頂点の座標は $(-1, 3)$。上に凸なグラフである。

2. 定義域 $-2 \le x < 1$ における最大値と最小値を調べる。

頂点のx座標 $x = -1$ は定義域に含まれるので、最大値は頂点のy座標 $y = 3$ である。

定義域の端点 $x = -2$ のとき、$y = -2(-2+1)^2 + 3 = -2(1) + 3 = 1$

$x = 1$ に近づくとき、$y = -2(1+1)^2 + 3 = -2(4) + 3 = -5$ に近づく。ただし、$x=1$ は定義域に含まれないので、最小値は存在しない。

(2) $y = 2x^2 + 3x + 4$ ($0 < x \le 2$)

1. 平方完成を行い、頂点の座標を求める。

$y = 2(x^2 + \frac{3}{2}x) + 4$

$y = 2(x^2 + \frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2 - (\frac{3}{4})^2) + 4$

$y = 2((x + \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{16}) + 4$

$y = 2(x + \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} + 4$

$y = 2(x + \frac{3}{4})^2 + \frac{23}{8}$

頂点の座標は $(-\frac{3}{4}, \frac{23}{8})$。下に凸なグラフである。

2. 定義域 $0 < x \le 2$ における最大値と最小値を調べる。

頂点のx座標 $x = -\frac{3}{4}$ は定義域に含まれない。

$x=0$ に近づくとき、$y = 2(0 + \frac{3}{4})^2 + \frac{23}{8} = 2(\frac{9}{16}) + \frac{23}{8} = \frac{9}{8} + \frac{23}{8} = \frac{32}{8} = 4$ に近づく。ただし、$x=0$ は定義域に含まれないので、最小値は存在しない。

定義域の端点 $x = 2$ のとき、$y = 2(2 + \frac{3}{4})^2 + \frac{23}{8} = 2(\frac{11}{4})^2 + \frac{23}{8} = 2(\frac{121}{16}) + \frac{23}{8} = \frac{121}{8} + \frac{23}{8} = \frac{144}{8} = 18$

3. 最終的な答え

(1)

最大値: 3 ($x = -1$ のとき)

最小値: なし

(2)

最大値: 18 ($x = 2$ のとき)

最小値: なし