2次関数 $y = x^2 - 2ax + 4a$ の最小値 $m$ を $a$ の式で表し、さらに $m$ の値を最大にする $a$ の値と、そのときの $m$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2ax + 4a$ の最小値 $m$ を $a$ の式で表し、さらに $m$ の値を最大にする $a$ の値と、そのときの $m$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成して最小値を求める。

$y = x^2 - 2ax + 4a = (x - a)^2 - a^2 + 4a$

この式から、頂点の座標は $(a, -a^2 + 4a)$ であることがわかる。

したがって、最小値 $m$ は $m = -a^2 + 4a$ となる。

次に、$m$ の値を最大にする $a$ の値を求める。$m$ は $a$ の2次関数であるから、再び平方完成を行う。

$m = -a^2 + 4a = -(a^2 - 4a) = -(a^2 - 4a + 4) + 4 = -(a - 2)^2 + 4$

この式から、$m$ は $a = 2$ のとき最大値 $4$ をとることがわかる。

3. 最終的な答え

最小値 $m$ を $a$ の式で表すと、 $m = -a^2 + 4a$ である。

$m$ の値を最大にする $a$ の値は $a = 2$ である。

$m$ の最大値は $4$ である。