まず、f(x) を平方完成します。 f(x)=2(x2+23mx)−2m=2(x+43m)2−2(43m)2−2m=2(x+43m)2−89m2−2m 軸は x=−43m です。 次に、軸の位置によって場合分けをします。
(i) −43m<0 つまり m>0 のとき: f(x) は x=0 で最小値をとります。 g=f(0)=2(0)2+3m(0)−2m=−2m (ii) 0≤−43m≤1 つまり −34≤m≤0 のとき: f(x) は x=−43m で最小値をとります。 g=f(−43m)=−89m2−2m (iii) −43m>1 つまり m<−34 のとき: f(x) は x=1 で最小値をとります。 g=f(1)=2(1)2+3m(1)−2m=2+3m−2m=m+2 $g = \begin{cases}
m+2 & (m < -\frac{4}{3}) \\
-\frac{9}{8}m^2 - 2m & (-\frac{4}{3} \le m \le 0) \\
-2m & (m > 0)
\end{cases}$
m<−34 のとき、g=m+2 は単調増加なので、m=−34 に近づくほど g は大きくなります。 g≈−34+2=32. −34≤m≤0 のとき、g=−89m2−2m=−89(m2+916m)=−89(m+98)2+89(98)2=−89(m+98)2+98 m=−98 のとき、g は最大値 98 をとります。−34≤−98≤0 を満たします。 m>0 のとき、g=−2m は単調減少なので、m=0 に近づくほど g は大きくなります。 g≈−2(0)=0. 32<98 なので、g の最大値は 98 です。 