与えられた条件を満たす2次関数を求めます。問題は4つあります。 (1) 頂点が (2, -3) で、点 (3, -1) を通る。 (2) 軸が $x=3$ で、2点 (1, -1), (2, -10) を通る。 (3) 3点 (0, 1), (1, -2), (5, 6) を通る。 (4) $x=1$ で最小値6をとり、$x=0$ で $y=9$ となる。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求めます。問題は4つあります。

(1) 頂点が (2, -3) で、点 (3, -1) を通る。

(2) 軸が $x=3$ で、2点 (1, -1), (2, -10) を通る。

(3) 3点 (0, 1), (1, -2), (5, 6) を通る。

(4) $x=1$ で最小値6をとり、$x=0$ で $y=9$ となる。

2. 解き方の手順

(1) 頂点が (2, -3) なので、2次関数は $y = a(x-2)^2 - 3$ と表せる。点 (3, -1) を通るので、これを代入すると、 $-1 = a(3-2)^2 - 3$ となる。これを解いて $a$ を求める。

(2) 軸が $x=3$ なので、2次関数は $y = a(x-3)^2 + q$ と表せる。2点 (1, -1), (2, -10) を通るので、それぞれ代入して、2つの式を得て、aとqの連立方程式を解く。

(3) 求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。3点 (0, 1), (1, -2), (5, 6) を通るので、それぞれ代入して、3つの式を得て、a, b, cの連立方程式を解く。

(4) $x=1$ で最小値6を取るので、2次関数は $y = a(x-1)^2 + 6$ と表せる。$x=0$ で $y=9$ なので、これを代入して、$9 = a(0-1)^2 + 6$ となる。これを解いて $a$ を求める。

(1)

$-1 = a(3-2)^2 - 3$

$-1 = a - 3$

$a = 2$

よって、$y = 2(x-2)^2 - 3 = 2(x^2 - 4x + 4) - 3 = 2x^2 - 8x + 8 - 3 = 2x^2 - 8x + 5$

(2)

$y = a(x-3)^2 + q$

$-1 = a(1-3)^2 + q = 4a + q$

$-10 = a(2-3)^2 + q = a + q$

連立方程式を解く。

$4a + q = -1$

$a + q = -10$

上の式から下の式を引くと、$3a = 9$ より $a = 3$。

$3 + q = -10$ より $q = -13$

よって、$y = 3(x-3)^2 - 13 = 3(x^2 - 6x + 9) - 13 = 3x^2 - 18x + 27 - 13 = 3x^2 - 18x + 14$

(3)

$y = ax^2 + bx + c$

(0, 1) を通るので、$1 = a(0)^2 + b(0) + c$ より $c = 1$

(1, -2) を通るので、$-2 = a(1)^2 + b(1) + c$ より $a + b + c = -2$

(5, 6) を通るので、$6 = a(5)^2 + b(5) + c$ より $25a + 5b + c = 6$

$c=1$ を代入して、

$a + b + 1 = -2$ より $a + b = -3$

$25a + 5b + 1 = 6$ より $25a + 5b = 5$ よって $5a + b = 1$

$5a + b = 1$ から $a + b = -3$ を引くと、$4a = 4$ より $a = 1$

$1 + b = -3$ より $b = -4$

よって、$y = x^2 - 4x + 1$

(4)

$y = a(x-1)^2 + 6$

$9 = a(0-1)^2 + 6$

$9 = a + 6$

$a = 3$

よって、$y = 3(x-1)^2 + 6 = 3(x^2 - 2x + 1) + 6 = 3x^2 - 6x + 3 + 6 = 3x^2 - 6x + 9$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2 - 8x + 5$

(2) $y = 3x^2 - 18x + 14$

(3) $y = x^2 - 4x + 1$

(4) $y = 3x^2 - 6x + 9$