2次関数 $y = x^2 + 2ax + 3(a+1)$ の最小値を $M$ とする。$M$ を $a$ の関数とみたとき、$M$ の値を最大にする $a$ の値と、そのときの $M$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 2ax + 3(a+1)$ の最小値を $M$ とする。$M$ を $a$ の関数とみたとき、$M$ の値を最大にする $a$ の値と、そのときの $M$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成して、頂点の $y$ 座標を求める。これが最小値 $M$ となる。

$y = x^2 + 2ax + 3(a+1) = (x+a)^2 - a^2 + 3a + 3$

したがって、$M = -a^2 + 3a + 3$ となる。

次に、$M$ を $a$ の関数と見て、その最大値を求める。そのため、$M$ を $a$ について平方完成する。

$M = -a^2 + 3a + 3 = -(a^2 - 3a) + 3 = -(a - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} + 3 = -(a - \frac{3}{2})^2 + \frac{21}{4}$

$M$ は $a = \frac{3}{2}$ のとき最大値 $\frac{21}{4}$ をとる。

3. 最終的な答え

$a = \frac{3}{2}$

$M = \frac{21}{4}$