異なる色の9個の玉を、以下の条件で分ける場合の数を求める問題です。 (1) 4個, 3個, 2個の3つの組に分ける。 (2) A, B, Cの3つの組に、3個ずつ分ける。 (3) 3個ずつの3つの組に分ける。 (4) 2個, 2個, 2個, 3個の4つの組に分ける。

1. 問題の内容

異なる色の9個の玉を、以下の条件で分ける場合の数を求める問題です。

(1) 4個, 3個, 2個の3つの組に分ける。

(2) A, B, Cの3つの組に、3個ずつ分ける。

(3) 3個ずつの3つの組に分ける。

(4) 2個, 2個, 2個, 3個の4つの組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) 4個, 3個, 2個の3つの組に分ける場合

9個から4個選び、残りの5個から3個選び、最後に残った2個を選ぶ。

よって、場合の数は

$_{9}C_{4} \times _{5}C_{3} \times _{2}C_{2} = \frac{9!}{4!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = \frac{9!}{4!3!2!} = \frac{362880}{24 \times 6 \times 2} = \frac{362880}{288} = 1260$ 通り

(2) A, B, Cの3つの組に、3個ずつ分ける場合

9個からAに入れる3個を選び、残りの6個からBに入れる3個を選び、最後に残った3個をCに入れる。

よって、場合の数は

$_{9}C_{3} \times _{6}C_{3} \times _{3}C_{3} = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = \frac{9!}{3!3!3!} = \frac{362880}{6 \times 6 \times 6} = \frac{362880}{216} = 1680$ 通り

(3) 3個ずつの3つの組に分ける場合

(2)と同様に3個ずつ分けるが、組に区別がないため、3!で割る必要がある。

よって、場合の数は

$\frac{_{9}C_{3} \times _{6}C_{3} \times _{3}C_{3}}{3!} = \frac{1680}{6} = 280$ 通り

(4) 2個, 2個, 2個, 3個の4つの組に分ける場合

9個から3個選び、残りの6個から2個選び、残りの4個から2個選び、最後に残った2個から2個を選ぶ。そして、2個の組に区別がないため、3!で割る。

よって、場合の数は

$_{9}C_{3} \times \frac{_{6}C_{2} \times _{4}C_{2} \times _{2}C_{2}}{3!} = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{1}{3!} \times \frac{6!}{2!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = \frac{9!}{3!(2!)^3} = \frac{362880}{6 \times 8} = \frac{362880}{48} = 7560$ 通り

3. 最終的な答え

(1) 1260通り

(2) 1680通り

(3) 280通り

(4) 7560通り