大小2つのサイコロを投げ、出た目によって6枚のカードを裏返す操作を行う。操作の結果、表面になっている数の和 $m$ を求める問題。 (ア) 大きいサイコロの目が3、小さいサイコロの目が5のとき、$m$を求める。 (イ) $m$が7の倍数となる確率を求める。

1. 問題の内容

大小2つのサイコロを投げ、出た目によって6枚のカードを裏返す操作を行う。操作の結果、表面になっている数の和 $m$ を求める問題。

(ア) 大きいサイコロの目が3、小さいサイコロの目が5のとき、$m$を求める。

(イ) $m$が7の倍数となる確率を求める。

2. 解き方の手順

(ア)

大きいサイコロの目が3なので、左から3枚のカードを裏返す。

1, 2, 3 が裏返り、4, 5, 6 はそのまま。裏になっている数字はそれぞれ何も書かれていないので 0 である。

したがって、この状態では、カードは 0, 0, 0, 4, 5, 6 となる。

次に、小さいサイコロの目が5なので、左から5枚のカードを裏返す。

0, 0, 0, 4, 5 が裏返り、6 はそのまま。

したがって、この状態では、カードは 1, 2, 3, 0, 0, 6 となる。

$m$ はこれらの和なので、$m = 1 + 2 + 3 + 0 + 0 + 6 = 12$ となる。

(イ)

大小2つのサイコロの目の出方は $6 \times 6 = 36$ 通り。

$m$ が 7 の倍数になる場合を調べる。

まず、操作①で大きいサイコロの出た目の数まで裏返す。次に、操作②で小さいサイコロの出た目の数まで裏返す。

大きいサイコロの目を $a$、小さいサイコロの目を $b$ とおく。

$a = 1$ のとき：

- $b = 1$: 0, 2, 3, 4, 5, 6 -> $m = 20$ (7の倍数ではない)

- $b = 2$: 1, 0, 3, 4, 5, 6 -> $m = 19$ (7の倍数ではない)

- $b = 3$: 0, 2, 0, 4, 5, 6 -> $m = 17$ (7の倍数ではない)

- $b = 4$: 1, 0, 3, 0, 5, 6 -> $m = 15$ (7の倍数ではない)

- $b = 5$: 0, 2, 0, 4, 0, 6 -> $m = 12$ (7の倍数ではない)

- $b = 6$: 1, 0, 3, 0, 5, 0 -> $m = 9$ (7の倍数ではない)

$a = 2$ のとき：

- $b = 1$: 0, 0, 3, 4, 5, 6 -> $m = 18$ (7の倍数ではない)

- $b = 2$: 1, 2, 3, 4, 5, 6 -> $m = 21$ (7の倍数)

- $b = 3$: 0, 0, 0, 4, 5, 6 -> $m = 15$ (7の倍数ではない)

- $b = 4$: 1, 2, 3, 0, 5, 6 -> $m = 17$ (7の倍数ではない)

- $b = 5$: 0, 0, 0, 4, 0, 6 -> $m = 10$ (7の倍数ではない)

- $b = 6$: 1, 2, 3, 0, 5, 0 -> $m = 11$ (7の倍数ではない)

$a = 3$ のとき：

- $b = 1$: 0, 0, 0, 4, 5, 6 -> $m = 15$ (7の倍数ではない)

- $b = 2$: 1, 2, 3, 4, 5, 6 -> $m = 21$ (7の倍数)

- $b = 3$: 0, 0, 0, 0, 5, 6 -> $m = 11$ (7の倍数ではない)

- $b = 4$: 1, 2, 3, 4, 5, 6 -> $m = 21$ (7の倍数)

- $b = 5$: 0, 0, 0, 0, 0, 6 -> $m = 6$ (7の倍数ではない)

- $b = 6$: 1, 2, 3, 4, 5, 0 -> $m = 15$ (7の倍数ではない)

$a = 4$ のとき：

- $b = 1$: 0, 0, 0, 0, 5, 6 -> $m = 11$ (7の倍数ではない)

- $b = 2$: 1, 2, 3, 4, 5, 6 -> $m = 21$ (7の倍数)

- $b = 3$: 0, 0, 0, 0, 0, 6 -> $m = 6$ (7の倍数ではない)

- $b = 4$: 1, 2, 3, 4, 0, 6 -> $m = 16$ (7の倍数ではない)

- $b = 5$: 0, 0, 0, 0, 5, 6 -> $m = 11$ (7の倍数ではない)

- $b = 6$: 1, 2, 3, 4, 5, 6 -> $m = 21$ (7の倍数)

$a = 5$ のとき：

- $b = 1$: 0, 0, 0, 0, 0, 6 -> $m = 6$ (7の倍数ではない)

- $b = 2$: 1, 2, 3, 4, 5, 6 -> $m = 21$ (7の倍数)

- $b = 3$: 0, 0, 0, 0, 0, 0 -> $m = 0$ (7の倍数)

- $b = 4$: 1, 2, 3, 4, 5, 6 -> $m = 21$ (7の倍数)

- $b = 5$: 0, 0, 0, 0, 0, 0 -> $m = 0$ (7の倍数)

- $b = 6$: 1, 2, 3, 4, 5, 6 -> $m = 21$ (7の倍数)

$a = 6$ のとき：

- $b = 1$: 0, 0, 0, 0, 0, 0 -> $m = 0$ (7の倍数)

- $b = 2$: 1, 2, 3, 4, 5, 6 -> $m = 21$ (7の倍数)

- $b = 3$: 0, 0, 0, 0, 0, 0 -> $m = 0$ (7の倍数)

- $b = 4$: 1, 2, 3, 4, 5, 6 -> $m = 21$ (7の倍数)

- $b = 5$: 0, 0, 0, 0, 0, 0 -> $m = 0$ (7の倍数)

- $b = 6$: 1, 2, 3, 4, 5, 6 -> $m = 21$ (7の倍数)

$m$ が 7 の倍数になるのは、(2,2), (3,2), (3,4), (4,2), (4,6), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) の16通り。

確率は $16/36 = 4/9$ となる。

3. 最終的な答え

(ア) 12

(イ) 4/9