6人の選手（大人A, 大人B, 中学生C, 小学生D, 小学生E, 小学生F）がトーナメント戦を行う。トーナメント表は図の通りで、以下のルールに従う。 - 大人は中学生に必ず勝つ。 - 中学生は小学生に必ず勝つ。 - 小学生は大人に必ず勝つ。 - 同じカテゴリ同士の対戦では、アルファベット順が早い方が勝つ。 (1) トーナメント表は全部で何通りできるか。 (2) 中学生Cが位置②に入り、Cが優勝するトーナメント表は何通りできるか。 (3) 中学生Cが優勝するトーナメント表は何通りできるか。

1. 問題の内容

6人の選手（大人A, 大人B, 中学生C, 小学生D, 小学生E, 小学生F）がトーナメント戦を行う。トーナメント表は図の通りで、以下のルールに従う。

- 大人は中学生に必ず勝つ。

- 中学生は小学生に必ず勝つ。

- 小学生は大人に必ず勝つ。

- 同じカテゴリ同士の対戦では、アルファベット順が早い方が勝つ。

(1) トーナメント表は全部で何通りできるか。

(2) 中学生Cが位置②に入り、Cが優勝するトーナメント表は何通りできるか。

(3) 中学生Cが優勝するトーナメント表は何通りできるか。

2. 解き方の手順

(1) トーナメント表全体の数

まず、6人を6つの場所に割り当てる方法を考えます。これは順列の問題なので、$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$ 通りです。

(2) Cが位置②に入りCが優勝する場合

Cが位置②に入ることが条件なので、残りの5人の配置を考えます。Cが優勝するには、位置①には小学生、位置③、④、⑤、⑥には大人か小学生が入る必要があります。位置①には小学生D, E, Fのいずれかが入ります。

- 位置①に小学生が入る場合: 3通りの小学生の選択肢があります。

- 次に位置③と④のどちらか一方に大人Aが入りもう一方に大人Bが入る。この配置は2通り。同様に位置⑤と⑥には大人Aか大人Bが入る。この配置は2通り。

- そして、位置③と④に大人が入る組み合わせを決めた後、位置⑤と⑥に大人が入る組み合わせを決める必要がある。ここで、大人の配置が終わったことになる。

- 残りの小学生2人は、残りの空いている場所に配置するが、この配置は１通りに決まる。

したがって、Cが位置②に入り、Cが優勝する組み合わせの数は $3 \times 2 \times 2 = 12$ 通りです。

(3) Cが優勝する場合

Cが優勝する可能性がある位置は、②、③、④、⑤、⑥です。それぞれの位置にCが入った場合について、Cが優勝する組み合わせの数を求めます。

- Cが位置②の場合: (2)より12通り。

- Cが位置③の場合: 位置①には小学生、位置②には大人、位置④、⑤、⑥には大人か小学生が入る必要があります。位置②には大人A, Bのいずれかが入ります。2通りの選択肢があります。位置①には小学生D, E, Fのいずれかが入ります。3通りの小学生の選択肢があります。残りの大人、小学生の配置は１通りに決まります。位置⑤と⑥の配置に2通り。したがって$2 \times 3 \times 2 = 12$通り。

- Cが位置④の場合: 位置①には小学生、位置②には大人、位置③、⑤、⑥には大人か小学生が入る必要があります。位置②には大人A, Bのいずれかが入ります。2通りの選択肢があります。位置①には小学生D, E, Fのいずれかが入ります。3通りの小学生の選択肢があります。残りの大人、小学生の配置は１通りに決まります。位置⑤と⑥の配置に2通り。したがって$2 \times 3 \times 2 = 12$通り。

- Cが位置⑤の場合: 位置①には小学生、位置②には大人、位置⑥には大人、位置③、④には大人か小学生が入る必要があります。位置②と⑥には大人A, Bのいずれかが入ります。2通りの選択肢があります。位置①には小学生D, E, Fのいずれかが入ります。3通りの小学生の選択肢があります。この時、③と④の配置は１通りです。したがって$2 \times 3 = 6$通り。

- Cが位置⑥の場合: 位置①には小学生、位置②には大人、位置⑤には大人、位置③、④には大人か小学生が入る必要があります。位置②と⑤には大人A, Bのいずれかが入ります。2通りの選択肢があります。位置①には小学生D, E, Fのいずれかが入ります。3通りの小学生の選択肢があります。この時、③と④の配置は１通りです。したがって$2 \times 3 = 6$通り。

したがって、Cが優勝する組み合わせの数は $12+12+12+6+6=48$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 720通り

(2) 12通り

(3) 48通り