1から4までの数字が書かれたカードが合計10枚あり、その中から無作為に1枚を取り出す。取り出したカードに書かれた数を確率変数$X$とする。このとき、以下の値を求める。 - $E(X)$ (期待値) - $E(X^2)$ (二乗の期待値) - $V(X)$ (分散) - $\sigma(4X - 8)$ (標準偏差)

1. 問題の内容

1から4までの数字が書かれたカードが合計10枚あり、その中から無作為に1枚を取り出す。取り出したカードに書かれた数を確率変数$X$とする。このとき、以下の値を求める。

- $E(X)$ (期待値)

- $E(X^2)$ (二乗の期待値)

- $V(X)$ (分散)

- $\sigma(4X - 8)$ (標準偏差)

2. 解き方の手順

(1) $E(X)$ (期待値)の計算

$X$が取りうる値は1, 2, 3, 4であり、それぞれの確率は以下の通り。

- $P(X=1) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

- $P(X=2) = \frac{3}{10}$

- $P(X=3) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

- $P(X=4) = \frac{1}{10}$

$E(X) = \sum_{i} x_i P(X=x_i)$なので、

$E(X) = 1 \cdot \frac{4}{10} + 2 \cdot \frac{3}{10} + 3 \cdot \frac{2}{10} + 4 \cdot \frac{1}{10} = \frac{4 + 6 + 6 + 4}{10} = \frac{20}{10} = 2$

(2) $E(X^2)$ (二乗の期待値)の計算

$E(X^2) = \sum_{i} x_i^2 P(X=x_i)$なので、

$E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{4}{10} + 2^2 \cdot \frac{3}{10} + 3^2 \cdot \frac{2}{10} + 4^2 \cdot \frac{1}{10} = \frac{4 + 12 + 18 + 16}{10} = \frac{50}{10} = 5$

(3) $V(X)$ (分散)の計算

$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$なので、

$V(X) = 5 - 2^2 = 5 - 4 = 1$

(4) $\sigma(4X - 8)$ (標準偏差)の計算

標準偏差の性質として、$\sigma(aX + b) = |a|\sigma(X)$が成り立つ。

また、$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$である。

$\sigma(X) = \sqrt{1} = 1$

$\sigma(4X - 8) = |4| \cdot \sigma(X) = 4 \cdot 1 = 4$

3. 最終的な答え

- $E(X) = 2$

- $E(X^2) = 5$

- $V(X) = 1$

- $\sigma(4X - 8) = 4$