あるネジ工場で、製品の中から無作為に400個選んで調べたところ、80個の不良品があった。製品全体における不良率$p$を信頼度95%で推定する問題です。

1. 問題の内容

あるネジ工場で、製品の中から無作為に400個選んで調べたところ、80個の不良品があった。製品全体における不良率$p$を信頼度95%で推定する問題です。

2. 解き方の手順

不良品の標本比率$\hat{p}$を計算します。

$\hat{p} = \frac{80}{400} = 0.2$

信頼度95%の信頼区間を求めるには、標準正規分布表から$z$値を求めます。信頼度95%の場合、$z_{\alpha/2} = 1.96$ となります。これは、正規分布表で累積確率が0.975となる$z$値を探すことに相当します。ただし、問題文に正規分布表が与えられており、表の値は$P(0 \le Z \le z)$を表しているため、$0.5 + 0.95/2 = 0.975$に対応する値を見ます。表の数値が累積確率そのものではないことに注意する必要があります。

表から直接1.96に相当する値を見つけることは難しいですが、$z \approx 1.96$を用いて計算を進めます。

信頼区間の下限と上限を計算します。

信頼区間の公式は次の通りです。

$\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

下限: $0.2 - 1.96 \sqrt{\frac{0.2(1-0.2)}{400}} = 0.2 - 1.96 \sqrt{\frac{0.2 \times 0.8}{400}} = 0.2 - 1.96 \sqrt{\frac{0.16}{400}} = 0.2 - 1.96 \times \frac{0.4}{20} = 0.2 - 1.96 \times 0.02 = 0.2 - 0.0392 = 0.1608$

上限: $0.2 + 1.96 \sqrt{\frac{0.2(1-0.2)}{400}} = 0.2 + 1.96 \sqrt{\frac{0.2 \times 0.8}{400}} = 0.2 + 1.96 \sqrt{\frac{0.16}{400}} = 0.2 + 1.96 \times \frac{0.4}{20} = 0.2 + 1.96 \times 0.02 = 0.2 + 0.0392 = 0.2392$

3. 最終的な答え

信頼度95%における不良率$p$の信頼区間は、[0.1608, 0.2392] です。