確率変数 $X$ のとる値の範囲が $-3 \le x \le 3$ であり、その確率密度関数が $f(x) = ax^2$ であるとき、以下の問いに答えます。 (1) $a$ の値を求めます。 (2) $P(-1 \le X \le 2)$、$E(X)$、$V(X)$ を求めます。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ のとる値の範囲が $-3 \le x \le 3$ であり、その確率密度関数が $f(x) = ax^2$ であるとき、以下の問いに答えます。

(1) $a$ の値を求めます。

(2) $P(-1 \le X \le 2)$、$E(X)$、$V(X)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 確率密度関数 $f(x)$ の積分が、定義域全体で1になることを利用して、$a$ の値を求めます。

すなわち、

$\int_{-3}^3 ax^2 dx = 1$ を解きます。

$\int_{-3}^3 ax^2 dx = a\int_{-3}^3 x^2 dx = a \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-3}^3 = a \left( \frac{3^3}{3} - \frac{(-3)^3}{3} \right) = a \left( 9 - (-9) \right) = 18a$

したがって、$18a = 1$ より、$a = \frac{1}{18}$ となります。

(2)

$P(-1 \le X \le 2) = \int_{-1}^2 f(x) dx = \int_{-1}^2 \frac{1}{18} x^2 dx = \frac{1}{18} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^2 = \frac{1}{18} \left( \frac{8}{3} - \frac{-1}{3} \right) = \frac{1}{18} \left( \frac{9}{3} \right) = \frac{1}{18} \cdot 3 = \frac{1}{6}$

$E(X) = \int_{-3}^3 x f(x) dx = \int_{-3}^3 x \cdot \frac{1}{18} x^2 dx = \frac{1}{18} \int_{-3}^3 x^3 dx = \frac{1}{18} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{-3}^3 = \frac{1}{18} \left( \frac{81}{4} - \frac{81}{4} \right) = 0$

$E(X^2) = \int_{-3}^3 x^2 f(x) dx = \int_{-3}^3 x^2 \cdot \frac{1}{18} x^2 dx = \frac{1}{18} \int_{-3}^3 x^4 dx = \frac{1}{18} \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{-3}^3 = \frac{1}{18} \left( \frac{243}{5} - \frac{-243}{5} \right) = \frac{1}{18} \cdot \frac{486}{5} = \frac{27}{5}$

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{27}{5} - 0^2 = \frac{27}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{18}$

(2) $P(-1 \le X \le 2) = \frac{1}{6}$

$E(X) = 0$

$V(X) = \frac{27}{5}$