9人の生徒を、指定された人数構成のグループに分ける場合の数をそれぞれ求めます。 (1) 2人、7人に分ける方法 (2) 2人、2人、5人に分ける方法 (3) 2人、2人、2人、3人に分ける方法

1. 問題の内容

9人の生徒を、指定された人数構成のグループに分ける場合の数をそれぞれ求めます。

(1) 2人、7人に分ける方法

(2) 2人、2人、5人に分ける方法

(3) 2人、2人、2人、3人に分ける方法

2. 解き方の手順

(1) 2人、7人に分ける方法：

9人の中から2人を選ぶ組み合わせの数を求めます。これは組み合わせの公式 $_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を使って計算します。

この場合、$n=9$、$r=2$ なので、 $_9C_2 = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ 通りとなります。

(2) 2人、2人、5人に分ける方法：

まず、9人の中から2人を選びます($_9C_2$)。次に、残りの7人の中から2人を選びます($_7C_2$)。最後に、残りの5人は自動的に1つのグループになります。ただし、2人のグループが2つあるので、グループの区別をなくすために、2!で割る必要があります。

したがって、$\frac{_9C_2 \times _7C_2}{2!} = \frac{\frac{9!}{2!7!} \times \frac{7!}{2!5!}}{2!} = \frac{36 \times 21}{2} = 378$ 通りとなります。

(3) 2人、2人、2人、3人に分ける方法：

まず、9人の中から2人を選びます($_9C_2$)。次に、残りの7人の中から2人を選びます($_7C_2$)。次に、残りの5人の中から2人を選びます($_5C_2$)。最後に、残りの3人は自動的に1つのグループになります。この場合、2人のグループが3つあるので、グループの区別をなくすために、3!で割る必要があります。

したがって、$\frac{_9C_2 \times _7C_2 \times _5C_2}{3!} = \frac{\frac{9!}{2!7!} \times \frac{7!}{2!5!} \times \frac{5!}{2!3!}}{3!} = \frac{36 \times 21 \times 10}{6} = 1260$ 通りとなります。

3. 最終的な答え

(1) 36通り

(2) 378通り

(3) 1260通り