異なる実数 $a, b$ に対して、2つの3次曲線 $C_1: y = x^3 + ax^2 + bx$ と $C_2: y = x^3 + bx^2 + ax$ が与えられています。$C_1$ と $x$ 軸との共有点、および $C_2$ と $x$ 軸との共有点は、いずれも原点のみであるとします。 (1) 曲線 $C_1$ と $C_2$ の共有点をすべて求めます。 (2) $a, b$ の満たす条件を求め、その条件を満たす点 $(a, b)$ 全体の集合を $ab$ 平面上に図示します。 (3) 曲線 $C_1$ と $C_2$ で囲まれた部分の面積 $S$ を $a, b$ を用いて表します。 (4) (3) で求めた $S$ のとりうる値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

異なる実数 $a, b$ に対して、2つの3次曲線 $C_1: y = x^3 + ax^2 + bx$ と $C_2: y = x^3 + bx^2 + ax$ が与えられています。$C_1$ と $x$ 軸との共有点、および $C_2$ と $x$ 軸との共有点は、いずれも原点のみであるとします。

(1) 曲線 $C_1$ と $C_2$ の共有点をすべて求めます。

(2) $a, b$ の満たす条件を求め、その条件を満たす点 $(a, b)$ 全体の集合を $ab$ 平面上に図示します。

(3) 曲線 $C_1$ と $C_2$ で囲まれた部分の面積 $S$ を $a, b$ を用いて表します。

(4) (3) で求めた $S$ のとりうる値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $C_1$ と $C_2$ の共有点を求める。

$x^3 + ax^2 + bx = x^3 + bx^2 + ax$ より、

$ax^2 + bx = bx^2 + ax$

$(a - b)x^2 - (a - b)x = 0$

$(a - b)(x^2 - x) = 0$

$a \ne b$ より、$x^2 - x = 0$

$x(x - 1) = 0$

$x = 0, 1$

$x=0$ のとき、$y = 0$

$x=1$ のとき、$y = 1 + a + b$

したがって、共有点は $(0, 0), (1, 1 + a + b)$

(2) $C_1$ と $x$ 軸との共有点が原点のみである条件を求める。

$y = x^3 + ax^2 + bx = x(x^2 + ax + b) = 0$

$x = 0$ 以外の実数解を持たないためには、$x^2 + ax + b = 0$ が実数解を持たない、または $x=0$のみを解にもつ必要がある。

$D = a^2 - 4b < 0$ が必要十分条件

$C_2$ と $x$ 軸との共有点が原点のみである条件を求める。

$y = x^3 + bx^2 + ax = x(x^2 + bx + a) = 0$

$x = 0$ 以外の実数解を持たないためには、$x^2 + bx + a = 0$ が実数解を持たない。

$D = b^2 - 4a < 0$ が必要十分条件

したがって、$a^2 - 4b < 0$ かつ $b^2 - 4a < 0$

$b > \frac{a^2}{4}$ かつ $a > \frac{b^2}{4}$

$a > \frac{(\frac{a^2}{4})^2}{4}$

$a > \frac{a^4}{64}$

$64a > a^4$

$a(a^3 - 64) < 0$

$a < 0$ または $a < 4$

$a \ne b$ より、

$a^2 < 4b, b^2 < 4a$

$a, b$ は異なる実数なので、$a \neq b$

$ab$ 平面上に図示すると、$b = a^2/4$ と $a = b^2/4$ で囲まれた領域であり、$a < 4, b < 4, a > 0, b > 0$ の範囲。ただし、直線 $a = b$ 上の点は除く。

(3) $C_1$ と $C_2$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

$S = \int_0^1 |(x^3 + ax^2 + bx) - (x^3 + bx^2 + ax)| dx$

$S = \int_0^1 |(a - b)x^2 + (b - a)x| dx$

$S = \int_0^1 |(a - b)(x^2 - x)| dx$

$S = |a - b| \int_0^1 |x^2 - x| dx$

$S = |a - b| \int_0^1 (x - x^2) dx$

$S = |a - b| [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_0^1$

$S = |a - b| (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = |a - b| \frac{1}{6}$

$S = \frac{1}{6} |a - b|$

(4) $S$ のとりうる値の範囲を求める。

$b > \frac{a^2}{4}$ かつ $a > \frac{b^2}{4}$ より、$a, b$ は正であり、 $a \ne b$

$b = \frac{a^2}{4}$ と $a = \frac{b^2}{4}$ の交点は、$(0, 0)$ と $(4, 4)$。

$0 < a < 4, 0 < b < 4$

$S = \frac{1}{6} |a - b|$

$a = b$ のとき $S = 0$

$a = 4, b = 0$ or $a=0, b=4$ ならば、$S = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$a - b$ は最大で4なので、$S < 2/3$

また $a \ne b$ なので、$S > 0$

したがって、$0 < S < \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $(0, 0), (1, 1 + a + b)$

(2) $a^2 < 4b$ かつ $b^2 < 4a$, $a \ne b$

(3) $S = \frac{1}{6} |a - b|$

(4) $0 < S < \frac{2}{3}$