2次関数 $y = x^2 + 4x + 2$ の $a \le x \le 0$ における最小値を、以下の2つの場合に分けて求める問題です。 (1) $a < -2$ のとき (2) $-2 \le a < 0$ のとき

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 4x + 2$ の $a \le x \le 0$ における最小値を、以下の2つの場合に分けて求める問題です。

(1) $a < -2$ のとき

(2) $-2 \le a < 0$ のとき

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 + 4x + 2 = (x+2)^2 - 2$

よって、この2次関数の頂点は $(-2, -2)$ です。

(1) $a < -2$ のとき

定義域 $a \le x \le 0$ は頂点 $x=-2$ を含みます。したがって、この区間での最小値は頂点のy座標である -2 です。

(2) $-2 \le a < 0$ のとき

定義域 $a \le x \le 0$ は頂点 $x=-2$ を含みます。この場合も最小値は頂点のy座標である -2 です。$x=-2$のときに最小値をとるので、定義域は関係ありません。

しかし問題文には、最小値は $a^2 + (33-1)a + (33-2)$ の形になると記載されています。

そこで、定義域の左端 $x=a$ で最小となるときを考えてみます。

$y = a^2 + 4a + 2$

この式が$a^2 + (33-1)a + (33-2)$ の形になるので、

$a^2 + (33-1)a + (33-2) = a^2+4a+2$ となるような係数を求めます。

$33-1 = 4$　なので、$33=5$

$33-2 = 2$　なので、$33=4$

矛盾するので、この仮定は誤りです。

再び、定義域 $a \le x \le 0$ は頂点 $x=-2$ を含むことに注目します。この場合、頂点が定義域に含まれる場合、最小値は頂点のy座標となります。つまり最小値は -2 です。

ここで、与えられた式と -2 を比較すると、

$a^2 + (33-1)a + (33-2) = -2$　となるはずです。

(1)より、$a<-2$のとき、最小値は -2。

(2)より、$-2 \le a < 0$のとき、最小値も -2。

$a<-2$のときは $x=0$ のときに最小値をとるので、$y(0)=0^2+4(0)+2=2$

$-2 \le a < 0$のときは $x=-2$ のときに最小値をとるので、$y(-2)=(-2)^2+4(-2)+2=-2$

条件から、 $-2 \le a < 0$のとき、最小値は $a^2+4a+2=-2$ となると考えられます。

$a^2+4a+4=0$

$(a+2)^2=0$

$a=-2$

とすると、問題文の形式に沿った答えを埋めるためには、$a=-2$のとき、$a^2+4a+2=-2$なので、整合性が取れます。

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) $a^2+4a+2$ なので、$33-1=4$、$33-2=2$ よって、4, 2

したがって、解答番号32は 2, 解答番号33は 4, 解答番号34は 2

解答番号35は、問題文の範囲から判断できません。