座標平面上の2次関数 $y=x^2+px+q$ のグラフについて、以下の問いに答える問題です。 (1) グラフが2点 $(-1, 11), (3, 3)$ を通るときの $p, q$ の値を求めます。 (2) (1)で求めたグラフ $G_1$ の軸の方程式を求めます。 (3) $G_1$ を $x$ 軸方向に3, $y$ 軸方向に $a$ だけ平行移動したグラフ $G_2$ の2次関数を求めます。 (4) $2 \le x \le 6$ の範囲で $G_2$ の最大値が15であるとき、$a$ の値を求めます。 (5) $G_1$ 上の点 $A$ の $x$ 座標を $t$ ($t > $ (2)で求めた軸の値) とし、$G_1$ 上に点 $B$ を線分 $AB$ と $x$ 軸が平行になるようにとります。次に、$y=\frac{1}{3}(x-\text{(2)で求めた軸の値})^2+2$ のグラフを $G_3$ とし、$G_3$ 上に2点 $C, D$ をとり、四角形 $ABCD$ が長方形となるようにします。このとき、辺 $AD$ の長さを求め、四角形 $ABCD$ が正方形になるときの $t$ の値を求めます。

1. 問題の内容

座標平面上の2次関数 $y=x^2+px+q$ のグラフについて、以下の問いに答える問題です。

(1) グラフが2点 $(-1, 11), (3, 3)$ を通るときの $p, q$ の値を求めます。

(2) (1)で求めたグラフ $G_1$ の軸の方程式を求めます。

(3) $G_1$ を $x$ 軸方向に3, $y$ 軸方向に $a$ だけ平行移動したグラフ $G_2$ の2次関数を求めます。

(4) $2 \le x \le 6$ の範囲で $G_2$ の最大値が15であるとき、$a$ の値を求めます。

(5) $G_1$ 上の点 $A$ の $x$ 座標を $t$ ($t >$ (2)で求めた軸の値) とし、$G_1$ 上に点 $B$ を線分 $AB$ と $x$ 軸が平行になるようにとります。次に、$y=\frac{1}{3}(x-\text{(2)で求めた軸の値})^2+2$ のグラフを $G_3$ とし、$G_3$ 上に2点 $C, D$ をとり、四角形 $ABCD$ が長方形となるようにします。このとき、辺 $AD$ の長さを求め、四角形 $ABCD$ が正方形になるときの $t$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

グラフが点 $(-1, 11)$ を通るので、 $x = -1, y = 11$ を代入すると、

$11 = (-1)^2 + p(-1) + q$

$11 = 1 - p + q$

$-p + q = 10$　…(1)

グラフが点 $(3, 3)$ を通るので、$x = 3, y = 3$ を代入すると、

$3 = 3^2 + p(3) + q$

$3 = 9 + 3p + q$

$3p + q = -6$　…(2)

(2)-(1) より、

$4p = -16$

$p = -4$

(1) に代入して、

$-(-4) + q = 10$

$4 + q = 10$

$q = 6$

よって、$p = -4, q = 6$

(2)

$y = x^2 - 4x + 6$

$y = (x - 2)^2 - 4 + 6$

$y = (x - 2)^2 + 2$

軸の方程式は $x = 2$

(3)

$y = (x - 2)^2 + 2$ のグラフを $x$ 軸方向に3, $y$ 軸方向に $a$ だけ平行移動すると、

$y - a = (x - 3 - 2)^2 + 2$

$y = (x - 5)^2 + 2 + a$

(4)

$y = (x - 5)^2 + 2 + a$

$2 \le x \le 6$ における最大値を考えます。軸は $x = 5$ なので、$x = 2$ のとき最大値をとります。

$y = (2 - 5)^2 + 2 + a$

$y = (-3)^2 + 2 + a$

$y = 9 + 2 + a$

$y = 11 + a$

最大値が15なので、

$11 + a = 15$

$a = 4$

(5)

$G_1: y = (x - 2)^2 + 2$

$A(t, (t - 2)^2 + 2)$

$B$ の $y$ 座標は $(t - 2)^2 + 2$

$G_3: y = \frac{1}{3}(x - 2)^2 + 2$

$AD = |A_y - D_y| = (t-2)^2 + 2 - (\frac{1}{3}(x_D-2)^2 + 2) = (t-2)^2 - \frac{1}{3}(x_D-2)^2$

$AD$ の長さは $\frac{2}{3}(t-2)^2$

四角形 $ABCD$ が長方形なので、 $AB \parallel CD$。

$AB$ の長さは $2(t-2)$ なので、

$AD = AB$ となるとき正方形になる。

$\frac{2}{3}(t-2)^2 = 2(t-2)$

$(t-2)^2 = 3(t-2)$

$(t-2)^2 - 3(t-2) = 0$

$(t-2)(t-2-3) = 0$

$(t-2)(t-5) = 0$

$t = 2, 5$

$t > 2$ より、$t = 5$

3. 最終的な答え

(1) $p = -4, q = 6$

(2) $x = 2$

(3) $y = (x - 5)^2 + a + 2$

(4) $a = 4$

(5) $AD = \frac{2}{3}(t-2)^2$, $t = 5$