$a < 0$ のとき、2次関数 $y = x^2 + 4x + 2$ の $a \le x \le 0$ における最小値と最大値を、$a$ の範囲に応じて求めます。

1. 問題の内容

$a < 0$ のとき、2次関数 $y = x^2 + 4x + 2$ の $a \le x \le 0$ における最小値と最大値を、$a$ の範囲に応じて求めます。

2. 解き方の手順

まず、2次関数 $y = x^2 + 4x + 2$ を平方完成します。

$y = (x + 2)^2 - 2$

軸は $x = -2$ であり、頂点の座標は $(-2, -2)$ です。

(1) 最小値について

* $a < -2$ のとき：

定義域 $a \le x \le 0$ は軸 $x = -2$ を含みます。したがって、最小値は頂点の $y$ 座標である $-2$ です。よって、32 には 2 が入ります。

* $-2 \le a < 0$ のとき：

定義域 $a \le x \le 0$ は軸 $x = -2$ を含みません。したがって、最小値は $x = a$ のときの $y$ の値になります。

$y = a^2 + 4a + 2$。よって、33-1 には 4 が、33-2 には 2 が入ります。

(2) 最大値について

* $a < -4$ のとき：

定義域 $a \le x \le 0$ は軸から離れています。$x=a$ の時に最大値をとります。最大値は$a^2+4a+2$です。

よって、34-1 には 4 が、34-2 には 2 が入ります。

* $-4 \le a < 0$ のとき：

$a$ が $-4 \le a < 0$ の範囲にあるとき、定義域の左端は $x=a$、右端は $x=0$ です。軸 $x=-2$ と定義域の端点との距離を比較すると、場合分けが必要です。

$a$ が $-4 \le a < -2$ ならば、定義域の右端点 $x=0$ のほうが軸から遠いので、最大値は $x=0$ のときの $y$ の値 $y = 0^2 + 4(0) + 2 = 2$ となります。

$a$ が $-2 \le a < 0$ ならば、定義域の左端点 $x=a$ のほうが軸から遠いので、最大値は $x=0$のときと同じく $y=2$ となります。

よって、35 には 2 が入ります。

3. 最終的な答え

32: 2

33-1: 4

33-2: 2

34-1: 4

34-2: 2

35: 2