(3) $x=-4$ のとき $y=-5$, $x=2$ のとき $y=13$ となる一次関数を求めよ。 (4) 2点 $(0, \frac{1}{3})$, $(\frac{5}{6}, \frac{3}{4})$ を通る直線の式を求めよ。 (5) 2点 $A(-5, 4)$, $B(-1, -3)$ を結ぶ線分の中点と、2点 $C(4, -1)$, $D(2, 6)$ を結ぶ線分の中点を通る直線の式を求めよ。

1. 問題の内容

(3) $x=-4$ のとき $y=-5$, $x=2$ のとき $y=13$ となる一次関数を求めよ。

(4) 2点 $(0, \frac{1}{3})$, $(\frac{5}{6}, \frac{3}{4})$ を通る直線の式を求めよ。

(5) 2点 $A(-5, 4)$, $B(-1, -3)$ を結ぶ線分の中点と、2点 $C(4, -1)$, $D(2, 6)$ を結ぶ線分の中点を通る直線の式を求めよ。

2. 解き方の手順

(3)

一次関数を $y = ax + b$ とおく。

$x = -4$ のとき $y = -5$ より、

$-5 = -4a + b$

$x = 2$ のとき $y = 13$ より、

$13 = 2a + b$

この連立方程式を解く。

$13 = 2a + b$ から $-5 = -4a + b$ を引くと、

$18 = 6a$

$a = 3$

$13 = 2a + b$ に $a = 3$ を代入すると、

$13 = 2(3) + b$

$13 = 6 + b$

$b = 7$

したがって、一次関数は $y = 3x + 7$ である。

(4)

2点 $(0, \frac{1}{3})$, $(\frac{5}{6}, \frac{3}{4})$ を通る直線の式を求める。

傾き $a$ は、

$a = \frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{3}}{\frac{5}{6} - 0} = \frac{\frac{9 - 4}{12}}{\frac{5}{6}} = \frac{\frac{5}{12}}{\frac{5}{6}} = \frac{5}{12} \times \frac{6}{5} = \frac{1}{2}$

切片 $b$ は、点 $(0, \frac{1}{3})$ が $y$ 切片なので、 $b = \frac{1}{3}$

したがって、直線の式は $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}$ である。

(5)

点A(-5, 4)と点B(-1, -3)の中点Mは、

$(\frac{-5 + (-1)}{2}, \frac{4 + (-3)}{2}) = (\frac{-6}{2}, \frac{1}{2}) = (-3, \frac{1}{2})$

点C(4, -1)と点D(2, 6)の中点Nは、

$(\frac{4 + 2}{2}, \frac{-1 + 6}{2}) = (\frac{6}{2}, \frac{5}{2}) = (3, \frac{5}{2})$

2点M(-3, 1/2), N(3, 5/2)を通る直線を求める。

傾き $a$ は、

$a = \frac{\frac{5}{2} - \frac{1}{2}}{3 - (-3)} = \frac{\frac{4}{2}}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$y = \frac{1}{3}x + b$ に M(-3, 1/2)を代入すると、

$\frac{1}{2} = \frac{1}{3}(-3) + b$

$\frac{1}{2} = -1 + b$

$b = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$

したがって、直線の式は $y = \frac{1}{3}x + \frac{3}{2}$ である。

3. 最終的な答え

(3) $y = 3x + 7$

(4) $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}$

(5) $y = \frac{1}{3}x + \frac{3}{2}$