問題は、与えられた条件を満たす2次関数を決定し、指定された空欄に当てはまる数字を答えることです。具体的には、 (1) $x=-2$ で最大値4をとり、点 $(0, -4)$ を通る2次関数を求める問題。 (2) $y=-x^2$ のグラフを平行移動し、頂点が直線 $y=2x+1$ 上にあり、点 $(1, -12)$ を通る2次関数を求める問題。

代数学二次関数最大値グラフの平行移動頂点二次方程式
2025/8/11

1. 問題の内容

問題は、与えられた条件を満たす2次関数を決定し、指定された空欄に当てはまる数字を答えることです。具体的には、
(1) x=2x=-2 で最大値4をとり、点 (0,4)(0, -4) を通る2次関数を求める問題。
(2) y=x2y=-x^2 のグラフを平行移動し、頂点が直線 y=2x+1y=2x+1 上にあり、点 (1,12)(1, -12) を通る2次関数を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) x=2x = -2 で最大値4をとるので、求める2次関数は
y=a(x+2)2+4y = a(x + 2)^2 + 4
の形に表せます。このグラフが点 (0,4)(0, -4) を通るので、
4=a(0+2)2+4-4 = a(0 + 2)^2 + 4
4=4a+4-4 = 4a + 4
4a=84a = -8
a=2a = -2
したがって、求める2次関数は
y=2(x+2)2+4y = -2(x + 2)^2 + 4
(2) y=x2y = -x^2 のグラフを平行移動したもので、頂点が y=2x+1y = 2x + 1 上にあるので、頂点の座標を (p,2p+1)(p, 2p + 1) とすると、求める2次関数は
y=(xp)2+2p+1y = -(x - p)^2 + 2p + 1
と表せます。このグラフが点 (1,12)(1, -12) を通るので、
12=(1p)2+2p+1-12 = -(1 - p)^2 + 2p + 1
12=(12p+p2)+2p+1-12 = -(1 - 2p + p^2) + 2p + 1
12=1+2pp2+2p+1-12 = -1 + 2p - p^2 + 2p + 1
12=p2+4p-12 = -p^2 + 4p
p24p12=0p^2 - 4p - 12 = 0
(p6)(p+2)=0(p - 6)(p + 2) = 0
p=6,2p = 6, -2
p=6p = 6 のとき、頂点は (6,13)(6, 13) なので、 y=(x6)2+13y = -(x - 6)^2 + 13
p=2p = -2 のとき、頂点は (2,3)(-2, -3) なので、y=(x+2)23y = -(x + 2)^2 - 3

3. 最終的な答え

(1)
40-1: 2
40-2: 2
(2)
41-1: 2
41-2: 3
42-1: 6
42-2: 13

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