赤玉4個、白玉3個、青玉1個の中から4個を取り出す組み合わせの総数と、順列の総数を求める問題です。

1. 問題の内容

赤玉4個、白玉3個、青玉1個の中から4個を取り出す組み合わせの総数と、順列の総数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、組み合わせの総数を求めます。

4個の玉の選び方を、青玉の個数で場合分けします。

(1) 青玉を0個選ぶ場合

赤玉と白玉の合計7個から4個を選ぶので、

${}_7 C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$通り

(2) 青玉を1個選ぶ場合

赤玉と白玉の合計7個から3個を選ぶので、

${}_7 C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$通り

したがって、組み合わせの総数は $35 + 35 = 70$通りです。

次に、順列の総数を求めます。

ここでも、青玉の個数で場合分けします。

(1) 青玉を0個選ぶ場合

(1-1) 赤玉4個、白玉0個

1通り

(1-2) 赤玉3個、白玉1個

$\frac{4!}{3!1!} = 4$通り

(1-3) 赤玉2個、白玉2個

$\frac{4!}{2!2!} = 6$通り

(1-4) 赤玉1個、白玉3個

$\frac{4!}{1!3!} = 4$通り

(2) 青玉を1個選ぶ場合

(2-1) 赤玉3個、白玉0個

$\frac{4!}{3!1!} = 4$通り

(2-2) 赤玉2個、白玉1個

$\frac{4!}{2!1!1!} = 12$通り

(2-3) 赤玉1個、白玉2個

$\frac{4!}{1!2!1!} = 12$通り

(2-4) 赤玉0個、白玉3個

$\frac{4!}{3!1!} = 4$通り

したがって、順列の総数は

$1 + 4 + 6 + 4 + 4 + 12 + 12 + 4 = 47$通りです。

組み合わせ

場合1：赤4個：1

場合2：赤3個、白1個：1

場合3：赤2個、白2個：1

場合4：赤1個、白3個：1

場合5：青1個、赤3個：1

場合6：青1個、赤2個、白1個：1

場合7：青1個、赤1個、白2個：1

場合8：青1個、白3個：1

合計：8個

組合せの数は異なる色の組合せ

$\binom{4}{4}+\binom{3}{4}=0$

${}_2H_4 = {}_{2+4-1}C_4= {}_5C_4=5$

$\{R,W,B\} \rightarrow \{r,w,b\}$

r+w+b=4 where $0 \le r \le 4$, $0 \le w \le 3$, $0 \le b \le 1$

$b=0$, $r+w=4$. $r \le 4, w \le 3$, so $(r,w)=(1,3), (2,2),(3,1),(4,0)$. 4 kinds

$b=1$, $r+w=3$. $r \le 4, w \le 3$, so $(r,w)=(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)$. 4 kinds

total 8

順列:

case 1, RRRR. $\frac{4!}{4!} = 1$

case 2, RRRW. $\frac{4!}{3!1!} = 4$

case 3, RRWW. $\frac{4!}{2!2!} = 6$

case 4, RWWW. $\frac{4!}{1!3!} = 4$

case 5, RRRB. $\frac{4!}{3!1!} = 4$

case 6, RRWB. $\frac{4!}{2!1!1!} = 12$

case 7, RWWB. $\frac{4!}{1!2!1!} = 12$

case 8, WWWB. $\frac{4!}{3!1!} = 4$

total 47

3. 最終的な答え

組み合わせの総数: 8通り

順列の総数: 47通り