2次関数 $f(x) = -x^2 + 6x + 1$ について、以下の問いに答えます。 (1) $-1 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求めます。 (2) $-1 \le x \le a$ (ただし、$a$ は正の定数) における最大値を $a$ を用いて表します。 (3) $-a \le x \le 2a$ (ただし、$a$ は正の定数) における最大値を $M$、最小値を $m$ とするとき、$M$ と $m$ の値をそれぞれ $a$ を用いて表します。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = -x^2 + 6x + 1$ について、以下の問いに答えます。

(1) $-1 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求めます。

(2) $-1 \le x \le a$ (ただし、$a$ は正の定数) における最大値を $a$ を用いて表します。

(3) $-a \le x \le 2a$ (ただし、$a$ は正の定数) における最大値を $M$、最小値を $m$ とするとき、$M$ と $m$ の値をそれぞれ $a$ を用いて表します。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = -(x^2 - 6x) + 1 = -(x^2 - 6x + 9 - 9) + 1 = -(x - 3)^2 + 9 + 1 = -(x - 3)^2 + 10$

よって、軸は $x = 3$、頂点は $(3, 10)$ です。上に凸の放物線です。

(1) $-1 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求めます。

軸 $x = 3$ は区間外です。

$f(-1) = -(-1)^2 + 6(-1) + 1 = -1 - 6 + 1 = -6$

$f(2) = -(2)^2 + 6(2) + 1 = -4 + 12 + 1 = 9$

したがって、最大値は $9$ ($x=2$ のとき)、最小値は $-6$ ($x=-1$ のとき) です。

(2) $-1 \le x \le a$ における最大値を $a$ を用いて表します。ただし、$a$ は正の定数です。

軸 $x = 3$ が区間 $-1 \le x \le a$ に含まれるかどうかで場合分けします。

(i) $0 < a < 3$ のとき、区間内に軸が含まれないので、$x = a$ が最大値となります。

このとき、$f(a) = -a^2 + 6a + 1$

(ii) $a \ge 3$ のとき、区間内に軸が含まれるので、$x = 3$ が最大値となります。

このとき、$f(3) = -(3 - 3)^2 + 10 = 10$

したがって、

$0 < a < 3$ のとき、最大値は $-a^2 + 6a + 1$

$a \ge 3$ のとき、最大値は $10$

(3) $-a \le x \le 2a$ における最大値を $M$、最小値を $m$ とします。

軸 $x = 3$ が区間 $-a \le x \le 2a$ に含まれることは、$a$ が正である限り常に成り立ちます。

したがって、最大値は $M = f(3) = 10$ です。

次に、最小値を求めます。

最小値は区間の端のどちらかになります。

$f(-a) = -(-a)^2 + 6(-a) + 1 = -a^2 - 6a + 1$

$f(2a) = -(2a)^2 + 6(2a) + 1 = -4a^2 + 12a + 1$

$f(-a) - f(2a) = (-a^2 - 6a + 1) - (-4a^2 + 12a + 1) = 3a^2 - 18a = 3a(a - 6)$

$a = 6$ のとき、$f(-a) = f(2a)$ となり、最小値は $-a^2 - 6a + 1$ となります。

$0 < a < 6$ のとき、$f(-a) < f(2a)$ となり、最小値は $f(2a)$ となります。

$a > 6$ のとき、$f(-a) > f(2a)$ となり、最小値は $f(-a)$ となります。

したがって、

$0 < a \le 6$ のとき、最小値 $m = -4a^2 + 12a + 1$

$a > 6$ のとき、最小値 $m = -a^2 - 6a + 1$

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $9$, 最小値: $-6$

(2) $0 < a < 3$ のとき、最大値は $-a^2 + 6a + 1$

　$a \ge 3$ のとき、最大値は $10$

(3) $M = 10$

　$0 < a \le 6$ のとき、$m = -4a^2 + 12a + 1$

　$a > 6$ のとき、$m = -a^2 - 6a + 1$