$5^{30}$ は何桁の数か。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$とする。

1. 問題の内容

$5^{30}$ は何桁の数か。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$とする。

2. 解き方の手順

$5^{30}$ の桁数を求めるために、常用対数 $\log_{10} 5^{30}$ を計算します。

まず、対数の性質を用いて変形します。

$\log_{10} 5^{30} = 30 \log_{10} 5$

次に、$\log_{10} 5$ を求めます。

$\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - \log_{10} 2$

問題文より、$\log_{10} 2 = 0.3010$なので、

$\log_{10} 5 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

したがって、

$\log_{10} 5^{30} = 30 \log_{10} 5 = 30 \times 0.6990 = 20.97$

$5^{30}$ の桁数は、$\log_{10} 5^{30}$ の整数部分に1を加えたものです。

$\log_{10} 5^{30} = 20.97$ の整数部分は20なので、

$5^{30}$ の桁数は $20 + 1 = 21$ 桁です。

3. 最終的な答え

$5^{30}$ は21桁の数である。