2次関数 $f(x) = -x^2 + 6x + 1$ について、指定された範囲における最大値、最小値を求める問題です。具体的には、 (1) $-1 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求めます。 (2) $-1 \le x \le a$ (ただし、$a$ は正の定数) における最大値を $a$ を用いて表します。 (3) $-a \le x \le 2a$ (ただし、$a$ は正の定数) における最大値を $M$、最小値を $m$ とするとき、$M$ と $m$ の値をそれぞれ $a$ を用いて表します。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = -x^2 + 6x + 1$ について、指定された範囲における最大値、最小値を求める問題です。具体的には、

(1) $-1 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求めます。

(2) $-1 \le x \le a$ (ただし、$a$ は正の定数) における最大値を $a$ を用いて表します。

(3) $-a \le x \le 2a$ (ただし、$a$ は正の定数) における最大値を $M$、最小値を $m$ とするとき、$M$ と $m$ の値をそれぞれ $a$ を用いて表します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$f(x) = -x^2 + 6x + 1 = -(x^2 - 6x) + 1 = -(x^2 - 6x + 9 - 9) + 1 = -(x - 3)^2 + 9 + 1 = -(x - 3)^2 + 10$

したがって、この2次関数の頂点は $(3, 10)$ であり、上に凸のグラフです。

(1) $-1 \le x \le 2$ の範囲における最大値と最小値を求めます。

頂点 $x = 3$ はこの範囲外にあるので、端点の値を調べます。

$f(-1) = -(-1)^2 + 6(-1) + 1 = -1 - 6 + 1 = -6$

$f(2) = -(2)^2 + 6(2) + 1 = -4 + 12 + 1 = 9$

したがって、最大値は $f(2) = 9$、最小値は $f(-1) = -6$ です。

(2) $-1 \le x \le a$ の範囲における最大値を $a$ を用いて表します。ただし、$a > 0$ です。

頂点 $x = 3$ と範囲 $-1 \le x \le a$ の位置関係で場合分けします。

* $0 < a < 3$ のとき、最大値は $f(a) = -a^2 + 6a + 1$

* $a \ge 3$ のとき、最大値は頂点の $y$ 座標である $f(3) = 10$

(3) $-a \le x \le 2a$ の範囲における最大値 $M$ と最小値 $m$ を $a$ を用いて表します。ただし、$a > 0$ です。

頂点 $x = 3$ と範囲 $-a \le x \le 2a$ の位置関係を考えます。

$-a \le x \le 2a$ は $x = 3$ を含むかどうかで場合分けします。

* $a \ge \frac{3}{2}$ のとき，$f(3) = 10$ が最大値 $M$ となります。

$x=-a$と$x=2a$における値を比較して最小値を求めます。

$f(-a) = -a^2 - 6a + 1$

$f(2a) = -4a^2 + 12a + 1$

$f(2a) - f(-a) = -4a^2 + 12a + 1 - (-a^2 - 6a + 1) = -3a^2 + 18a = -3a(a-6)$

* $\frac{3}{2} \le a \le 6$のとき、$f(2a) \ge f(-a)$となり、$m = f(-a) = -a^2 - 6a + 1$

* $a > 6$のとき、$f(2a) < f(-a)$となり、$m = f(2a) = -4a^2 + 12a + 1$

* $0 < a < \frac{3}{2}$ のとき、頂点は範囲外なので、 $x = 2a$ が頂点に最も近い値となります。

$f(-a) = -a^2 - 6a + 1$

$f(2a) = -4a^2 + 12a + 1$

$M = f(2a) = -4a^2 + 12a + 1$

最小値$m = f(-a) = -a^2 - 6a + 1$

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 9, 最小値: -6

(2)

$0 < a < 3$ のとき、最大値は $-a^2 + 6a + 1$

$a \ge 3$ のとき、最大値は 10

(3)

$0 < a < \frac{3}{2}$ のとき、$M = -4a^2 + 12a + 1$, $m = -a^2 - 6a + 1$

$\frac{3}{2} \le a \le 6$ のとき、$M = 10$, $m = -a^2 - 6a + 1$

$a > 6$ のとき、$M = 10$, $m = -4a^2 + 12a + 1$