## 問題の回答

## 問題の回答

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1. 問題の内容

3つの問題があります。

**(1)** 関数 $y = ax$ と $y = -\frac{2}{3}x + 4$ のグラフの交点をA、関数 $y = -\frac{2}{3}x + 4$ のグラフとy軸との交点をBとします。線分OA上の点で、x座標とy座標がともに整数である点が、原点以外に1個となるような $a$ の値のうち、最も小さいものを求めます。ただし、$a > 0$ とします。

**(2)** 4点A(3,3), B(-3,3), C(-3,-3), D(3,-3)を頂点とする正方形ABCDがあります。辺AB, CDとそれぞれ交点E, Fをもつ直線 $y = 2x + b$ があります。

**(1)** 直線 $y = 2x + b$ が点 (1, 3) を通るとき、$b$ の値を求めます。

**(2)** $b = 2$ のとき、四角形AEFDの面積を求めます。

**(3)** 四角形AEFDの面積が12のとき、$b$ の値を求めます。

**(3)** 点A(4,0)と点(0,8)を通る直線を $l$ 、点B$(-\frac{3}{2}, 3)$ を通り、傾きが$\frac{2}{3}$ である直線を $m$ とします。$l$ と $m$ の交点をCとします。

**(1)** 直線 $m$ の式を求めます。

**(2)** 点Cの座標を求めます。

**(3)** 線分OA上に点Pをとります。$\triangle$OPBの面積が四角形OACBの面積の$\frac{1}{4}$ になるときの点Pの座標を求めます。

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2. 解き方の手順

**(1)**

1. $y = -\frac{2}{3}x + 4$ より、点Bの座標は $(0, 4)$ です。

2. 線分OA上の点の座標を $(x, y)$ とすると、$y = ax$ であるから、点Aは $(x, ax)$ と表すことができます。

3. 点Aは直線 $y = -\frac{2}{3}x + 4$ 上にあるので、$ax = -\frac{2}{3}x + 4$ が成り立ちます。

4. これを $x$ について解くと、$x = \frac{4}{a + \frac{2}{3}} = \frac{12}{3a + 2}$ となります。

5. また、$y = a \cdot \frac{12}{3a + 2} = \frac{12a}{3a + 2}$ となります。

6. $x$ と $y$ が共に整数となるのは、$3a + 2$ が12の約数であるときです。

7. $3a + 2 = 1, 2, 3, 4, 6, 12$ をそれぞれ解くと、$a$ は正であることから、$3a + 2 = 4, 6, 12$ に絞られます。

8. それぞれの $a$ について、$a = \frac{2}{3}, \frac{4}{3}, \frac{10}{3}$ となります。

9. $a = \frac{2}{3}$ のとき、Aの座標は $(3, 2)$。OA上に原点以外に整数座標の点は $(3, 2)$ のみ。

1

0. $a = \frac{4}{3}$ のとき、Aの座標は $(\frac{3}{2}, 2)$。

1

1. $a = \frac{10}{3}$ のとき、Aの座標は $(\frac{3}{8}, \frac{5}{4})$。

1

2. したがって、$a = \frac{2}{3}$ が求める値です。

**(2)**

**(1)**

1. 直線 $y = 2x + b$ が点 (1, 3) を通るので、 $3 = 2 \cdot 1 + b$ より、$b = 1$ です。

**(2)**

1. $b = 2$ のとき、直線 $y = 2x + 2$ です。

2. 点Eのx座標は、$y = 3$ を $y = 2x + 2$ に代入して、$3 = 2x + 2$ より、$x = \frac{1}{2}$。よって、E$(\frac{1}{2}, 3)$

3. 点Fのx座標は、$y = -3$ を $y = 2x + 2$ に代入して、$-3 = 2x + 2$ より、$x = -\frac{5}{2}$。よって、F$(-\frac{5}{2}, -3)$

4. AEの長さは、$3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

5. DFの長さは、$3 - (-\frac{5}{2}) = \frac{11}{2}$

6. よって、四角形AEFDの面積は、$\frac{1}{2} \cdot (\frac{5}{2} + \frac{11}{2}) \cdot 6 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$

**(3)**

1. AEの長さを $x$ とすると、Eの座標は $(x, 3)$ となるので、$3 = 2x + b$ より、$x = \frac{3 - b}{2}$

2. DFの長さを $y$ とすると、Fの座標は $(y, -3)$ となるので、$-3 = 2y + b$ より、$y = \frac{-3 - b}{2}$

3. AEの長さは $3 - \frac{3-b}{2} = \frac{3+b}{2}$

4. DFの長さは $3 - \frac{-3-b}{2} = \frac{9+b}{2}$

5. 四角形AEFDの面積は $\frac{1}{2} (\frac{3+b}{2} + \frac{9+b}{2}) \cdot 6 = 3(\frac{12+2b}{2}) = 3(6+b) = 18 + 3b$

6. これが12に等しいので、$18 + 3b = 12$ より、$3b = -6$, $b = -2$

**(3)**

**(1)**

1. 直線 $m$ の式は、$y = \frac{2}{3}x + c$ とおけます。

2. 点B$(-\frac{3}{2}, 3)$ を通るので、$3 = \frac{2}{3}(-\frac{3}{2}) + c$ より、$3 = -1 + c$。よって、$c = 4$

3. 直線 $m$ の式は $y = \frac{2}{3}x + 4$ です。

**(2)**

1. 直線 $l$ は、点A(4,0)と点(0,8)を通るので、傾きは $\frac{8 - 0}{0 - 4} = -2$。よって、直線 $l$ の式は $y = -2x + 8$ です。

2. 点Cは直線 $l$ と直線 $m$ の交点なので、$-2x + 8 = \frac{2}{3}x + 4$ を解きます。

3. $-\frac{8}{3}x = -4$ より、$x = \frac{3}{2}$

4. $y = -2(\frac{3}{2}) + 8 = -3 + 8 = 5$

5. よって、点Cの座標は $(\frac{3}{2}, 5)$ です。

**(3)**

1. 点Aの座標は $(4, 0)$ なので、OAの式は $y = 0$ $(0 \le x \le 4)$です。

2. Pの座標を $(x, 0)$ とします。

3. $\triangle$OPBの面積は $\frac{1}{2} \cdot x \cdot 8 = 4x$

4. 四角形OACBの面積は、$\triangle$OAC + $\triangle$OCB = $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot 3 = 16 + \frac{9}{4} = \frac{73}{4}$

5. $4x = \frac{1}{4} \cdot \frac{73}{4}$ より、$x = \frac{73}{64}$

6. よって、点Pの座標は $(\frac{73}{64}, 0)$ です。

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3. 最終的な答え

**(1)** $a = \frac{2}{3}$

**(2)**

**(1)** $b = 1$

**(2)** 24

**(3)** $b = -2$

**(3)**

**(1)** $y = \frac{2}{3}x + 4$

**(2)** $(\frac{3}{2}, 5)$

**(3)** $(\frac{73}{64}, 0)$