いびつなサイコロを振り、出た目によって平面上の点が移動する。1,2,3の目が出る確率はそれぞれ $1/6$、4の目が出る確率は $a$、5,6の目が出る確率はそれぞれ $\frac{1}{4} - \frac{a}{2}$ である。原点(0,0)にあった点が、$k$回サイコロを振った時に(2,1)にある確率を $p_k$ とする。 (1) $p_1, p_2, p_3$ を求めよ。 (2) $p_6$ を求めよ。 (3) $p_6$ が最大になるときの $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

いびつなサイコロを振り、出た目によって平面上の点が移動する。1,2,3の目が出る確率はそれぞれ $1/6$、4の目が出る確率は $a$、5,6の目が出る確率はそれぞれ $\frac{1}{4} - \frac{a}{2}$ である。原点(0,0)にあった点が、$k$回サイコロを振った時に(2,1)にある確率を $p_k$ とする。

(1) $p_1, p_2, p_3$ を求めよ。

(2) $p_6$ を求めよ。

(3) $p_6$ が最大になるときの $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$p_1$: 1回の試行で(2,1)に到達することは不可能なので、$p_1 = 0$

$p_2$: 2回の試行で(2,1)に到達することは不可能なので、$p_2 = 0$

$p_3$: 3回の試行で(2,1)に到達する場合を考える。

1,2,3のいずれかの目が出ると(x+1,y)に移動するので、これをAとする。

4の目が出ると(x,y+1)に移動するので、これをBとする。

5,6のいずれかの目が出ると(x-1,y-1)に移動するので、これをCとする。

3回の試行で(2,1)に到達するためには、Aが2回、Bが1回出れば良い。

したがって、$p_3 = {}_3C_2 (\frac{1}{6})^2 a = 3 (\frac{1}{36}) a = \frac{a}{12}$

(2)

$p_6$を求める。6回の試行で(2,1)に到達する場合を考える。

Aをx回、Bをy回、Cをz回とすると、$x+y+z = 6$、$x-z = 2$、$y-z = 1$

$x=z+2$, $y=z+1$を$x+y+z=6$に代入すると、

$z+2 + z+1 + z = 6$

$3z + 3 = 6$

$3z = 3$

$z=1$, $x=3$, $y=2$

したがって、Aが3回、Bが2回、Cが1回出る必要がある。

$p_6 = \frac{6!}{3!2!1!} (\frac{1}{6})^3 a^2 (\frac{1}{4}-\frac{a}{2})^1 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{2} (\frac{1}{216}) a^2 (\frac{1-2a}{4}) = 60 \frac{a^2 (1-2a)}{864} = \frac{5a^2(1-2a)}{72} = \frac{5}{72}(a^2 - 2a^3)$

(3)

$p_6$ が最大になるときの $a$ の値を求める。

$p_6 = \frac{5}{72}(a^2 - 2a^3)$を微分する。

$\frac{dp_6}{da} = \frac{5}{72} (2a - 6a^2) = \frac{5}{36} (a - 3a^2) = \frac{5}{36} a(1-3a)$

$\frac{dp_6}{da} = 0$ となるのは、$a=0$ または $a=\frac{1}{3}$

$0 \le a \le \frac{1}{2}$ より、$a=0$ と $a=\frac{1}{3}$ は条件を満たす。

$a=0$の時、$p_6=0$

$a=\frac{1}{3}$の時、$p_6 = \frac{5}{72} ((\frac{1}{3})^2 - 2(\frac{1}{3})^3) = \frac{5}{72} (\frac{1}{9} - \frac{2}{27}) = \frac{5}{72} (\frac{3-2}{27}) = \frac{5}{72} \frac{1}{27} = \frac{5}{1944} > 0$

したがって、$a=\frac{1}{3}$のとき、$p_6$は最大となる。

3. 最終的な答え

(1) $p_1 = 0, p_2 = 0, p_3 = \frac{a}{12}$

(2) $p_6 = \frac{5a^2(1-2a)}{72}$

(3) $a = \frac{1}{3}$