10人の生徒を3人、3人、3人、1人の4つのグループに分けるとき、分け方は何通りあるか。

## 問題11

1. 問題の内容

10人の生徒を3人、3人、3人、1人の4つのグループに分けるとき、分け方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、10人から3人を選ぶ組み合わせを計算します。これは$_{10}C_3$で求められます。

次に、残りの7人から3人を選ぶ組み合わせを計算します。これは$_7C_3$で求められます。

さらに、残りの4人から3人を選ぶ組み合わせを計算します。これは$_4C_3$で求められます。

最後に、残りの1人は自動的に最後のグループに入ります。これは$_1C_1$で求められます。

ただし、3人組が3つあるので、同じ人数で構成されたグループの並び順は区別しません。

したがって、3つの3人組の並び順（3! = 6通り）で割る必要があります。

したがって、求める場合の数は次のようになります。

$\frac{_{10}C_3 \times _7C_3 \times _4C_3 \times _1C_1}{3!} = \frac{\frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} \times 1}{6} = \frac{120 \times 35 \times 4 \times 1}{6} = 20 \times 35 \times 4 = 2800$

3. 最終的な答え

2800通り

## 問題12

1. 問題の内容

右の図のような道路があるとき、AからBへ最短の道順で行く方法について、以下の問いに答える。

(1) すべての道順の総数

(2) Pを通る道順

(3) Qを通らない道順

2. 解き方の手順

(1) すべての道順の総数

AからBへ最短で行くには、右に5回、上に3回移動する必要があります。これは、計8回の移動のうち、右に5回移動する場所を選ぶ組み合わせ、または上に3回移動する場所を選ぶ組み合わせと同じです。

したがって、すべての場合の数は$_{8}C_5 = _{8}C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$通りです。

(2) Pを通る道順

AからPへ最短で行くには、右に2回、上に1回移動する必要があります。これは$_{3}C_2 = 3$通りです。

PからBへ最短で行くには、右に3回、上に2回移動する必要があります。これは$_{5}C_3 = _{5}C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通りです。

したがって、Pを通る道順は$3 \times 10 = 30$通りです。

(3) Qを通らない道順

まず、Qを通る道順を計算します。

AからQへ最短で行くには、右に3回、上に2回移動する必要があります。これは$_{5}C_3 = _{5}C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通りです。

QからBへ最短で行くには、右に2回、上に1回移動する必要があります。これは$_{3}C_2 = 3$通りです。

したがって、Qを通る道順は$10 \times 3 = 30$通りです。

すべての道順の総数からQを通る道順を引けば、Qを通らない道順が求められます。

$56 - 30 = 26$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 56通り

(2) 30通り

(3) 26通り