袋の中に赤球5個、白球4個が入っている。この袋から3個の球を同時に取り出すとき、次の確率を求めよ。 (1) 3個とも赤球である確率 (2) 赤球が2個、白球が1個である確率

## 問題３

1. 問題の内容

袋の中に赤球5個、白球4個が入っている。この袋から3個の球を同時に取り出すとき、次の確率を求めよ。

(1) 3個とも赤球である確率

(2) 赤球が2個、白球が1個である確率

2. 解き方の手順

(1) 3個とも赤球である確率

まず、9個の球から3個を取り出す組み合わせの総数を計算します。これは組み合わせの公式を用いて、${}_9C_3$ で表されます。

$${}_9C_3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$$

次に、5個の赤球から3個を取り出す組み合わせの数を計算します。これは ${}_5C_3$ で表されます。

$${}_5C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$$

したがって、3個とも赤球である確率は、赤球3個を取り出す組み合わせの数を、すべての球から3個を取り出す組み合わせの数で割ったものになります。

$$P(\text{3個とも赤球}) = \frac{{}_5C_3}{{}_9C_3} = \frac{10}{84} = \frac{5}{42}$$

(2) 赤球が2個、白球が1個である確率

5個の赤球から2個を取り出す組み合わせの数は ${}_5C_2$ で表されます。

$${}_5C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$$

4個の白球から1個を取り出す組み合わせの数は ${}_4C_1$ で表されます。

$${}_4C_1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = 4$$

赤球2個と白球1個を取り出す組み合わせの数は、赤球2個を取り出す組み合わせの数と白球1個を取り出す組み合わせの数の積になります。

$${}_5C_2 \times {}_4C_1 = 10 \times 4 = 40$$

したがって、赤球2個、白球1個である確率は、赤球2個と白球1個を取り出す組み合わせの数を、すべての球から3個を取り出す組み合わせの数で割ったものになります。

$$P(\text{赤球2個、白球1個}) = \frac{{}_5C_2 \times {}_4C_1}{{}_9C_3} = \frac{40}{84} = \frac{10}{21}$$

3. 最終的な答え

(1) 3個とも赤球である確率: $\frac{5}{42}$

(2) 赤球が2個、白球が1個である確率: $\frac{10}{21}$

## 問題４

1. 問題の内容

10から99までの2桁の数を書いた球が、それぞれ1個ずつ袋の中に入っている。この袋の中から1個の球を取り出すとき、球に書かれた数が2の倍数または5の倍数である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

10から99までの整数の個数は $99 - 10 + 1 = 90$ 個です。

2の倍数の個数を求めます。10から99までの2の倍数は、10, 12, 14, ..., 98 です。これは、$2 \times 5$ から $2 \times 49$ までの数なので、$49 - 5 + 1 = 45$ 個です。

5の倍数の個数を求めます。10から99までの5の倍数は、10, 15, 20, ..., 95 です。これは、$5 \times 2$ から $5 \times 19$ までの数なので、$19 - 2 + 1 = 18$ 個です。

2の倍数かつ5の倍数、つまり10の倍数の個数を求めます。10から99までの10の倍数は、10, 20, 30, ..., 90 です。これは、$10 \times 1$ から $10 \times 9$ までの数なので、$9 - 1 + 1 = 9$ 個です。

2の倍数または5の倍数の個数は、2の倍数の個数 + 5の倍数の個数 - 10の倍数の個数で求められます。

$45 + 18 - 9 = 54$

したがって、2の倍数または5の倍数である確率は、その個数を全体の個数で割ったものになります。

$$P(\text{2の倍数または5の倍数}) = \frac{54}{90} = \frac{3}{5}$$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{5}$