正六角形の頂点に1から6の番号を付ける。3個のサイコロを同時に投げて、出た目の番号の頂点を結んでできる図形について、以下の確率を求めよ。 (1) 三角形である確率 (2) 線分である確率

## 問題5

1. 問題の内容

正六角形の頂点に1から6の番号を付ける。3個のサイコロを同時に投げて、出た目の番号の頂点を結んでできる図形について、以下の確率を求めよ。

(1) 三角形である確率

(2) 線分である確率

2. 解き方の手順

(1) 三角形となる確率

* 全事象は、3個のサイコロの目の組み合わせなので、$6^3 = 216$ 通り。

* 三角形となるのは、3つのサイコロの目が全て異なるとき。

* 3つの目が異なる組み合わせは、$6 \times 5 \times 4 = 120$ 通り。

* よって、三角形となる確率は $\frac{120}{216} = \frac{5}{9}$。

(2) 線分となる確率

* 線分となるのは、3つのサイコロのうち、2つの目が同じで、残りの1つが異なる場合と、3つのサイコロの目がすべて同じ場合。

* 2つの目が同じで、残りの1つが異なる場合:

* 同じ目が1から6のどれかを選ぶので6通り。

* 残りの目の選び方は5通り。

* どのサイコロが違う目になるかの選び方が3通り。

* よって、$6 \times 5 \times 3 = 90$ 通り。

* 3つの目がすべて同じ場合:

* 1から6の目がすべて同じなので6通り。

* 線分となる場合の合計は $90+6 = 96$ 通り。

* よって、線分となる確率は $\frac{96}{216} = \frac{4}{9}$。

3. 最終的な答え

(1) 三角形である確率: $\frac{5}{9}$

(2) 線分である確率: $\frac{4}{9}$

## 問題6

1. 問題の内容

袋の中に白球が6個、黒球が4個入っている。この袋から同時に4個の球を取り出すとき、白球、黒球がそれぞれ少なくとも1個は含まれている確率を求めよ。

2. 解き方の手順

* 全事象は、10個の球から4個を取り出す組み合わせなので、${}_{10}C_4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$ 通り。

* 白球、黒球がそれぞれ少なくとも1個含まれるということは、すべて白球またはすべて黒球という事象の余事象を考える。

* すべて白球となるのは、6個の白球から4個を選ぶので、${}_{6}C_4 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通り。

* すべて黒球となるのは、4個の黒球から4個を選ぶので、${}_{4}C_4 = 1$ 通り。

* よって、少なくとも1個は白球、黒球が含まれないのは、$15 + 1 = 16$ 通り。

* したがって、求める確率は $1 - \frac{16}{210} = \frac{210 - 16}{210} = \frac{194}{210} = \frac{97}{105}$。

3. 最終的な答え

$\frac{97}{105}$

## 問題7

1. 問題の内容

袋Aには赤球3個、白球2個が入っており、袋Bには赤球4個、白球3個が入っている。袋Aから1個、袋Bから2個取り出すとき、以下の確率を求めよ。

(1) 3個とも同じ色である確率

(2) 白球が赤球より多い確率

2. 解き方の手順

(1) 3個とも同じ色である確率

* 3個とも赤の場合: 袋Aから赤球を取り出す確率は $\frac{3}{5}$。袋Bから赤球を2個取り出す確率は $\frac{{}_4C_2}{{}_7C_2} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$。よって、確率は $\frac{3}{5} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{35}$。

* 3個とも白の場合: 袋Aから白球を取り出す確率は $\frac{2}{5}$。袋Bから白球を2個取り出す確率は $\frac{{}_3C_2}{{}_7C_2} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}$。よって、確率は $\frac{2}{5} \times \frac{1}{7} = \frac{2}{35}$。

* 求める確率は $\frac{6}{35} + \frac{2}{35} = \frac{8}{35}$。

(2) 白球が赤球より多い確率

* 袋Aから赤球を取り出す場合: 袋Bから白球を2個取り出す必要がある。確率は $\frac{3}{5} \times \frac{1}{7} = \frac{3}{35}$。

* 袋Aから白球を取り出す場合: 袋Bから白球を1個以上取り出す必要がある。

* 袋Bから白球1個、赤球1個を取り出す確率は $\frac{{}_3C_1 \times {}_4C_1}{{}_7C_2} = \frac{3 \times 4}{21} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$。

* 袋Bから白球を2個取り出す確率は $\frac{1}{7}$。（上記参照）

* よって、袋Aから白球を取り出す場合は $\frac{2}{5} \times (\frac{4}{7} + \frac{1}{7}) = \frac{2}{5} \times \frac{5}{7} = \frac{2}{7} = \frac{10}{35}$。

* 求める確率は $\frac{3}{35} + \frac{10}{35} = \frac{13}{35}$。

3. 最終的な答え

(1) 3個とも同じ色である確率: $\frac{8}{35}$

(2) 白球が赤球より多い確率: $\frac{13}{35}$